Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

(x×y) n = x n×y n .

А что насчет возведения x в иррациональную степень? Что могло бы означать 12 √2, или 12 π , или 12 e ? Здесь мы снова попадаем в царство анализа. Вспомним про ту последовательность из главы 1.vii, которая сходилась к √2. Она выглядела так: 1/ 1, 3/ 2, 7/ 5, 17/ 12, 41/ 29, 99/ 70, 239/ 169, 577/ 408, 1393/ 985, 3363/ 2378, … Продолжая эту последовательность достаточно далеко, можно подобраться к √2 сколь угодно близко. А из 6-го правила, которое говорит о значении всякой дробной степени, понятно, что же представляет собой число 12, возведенное в каждую из этих дробных степеней. Разумеется, число 12 1равно просто 12, а 12 3/2— это квадратный корень из 12 в кубе; 41,569219381…. Далее, 12 7/5— это корень пятой степени из 12 в седьмой степени, что равно 32,423040924…. Таким же образом, 12 17/12равно 33,794038815…, 12 41/29равно 33,553590738…, 12 99/70равно 33,594688567… и т.д. Как мы видим, эти дробные степени числа 12 сходятся к некоторому числу — на самом деле к числу 33,588665890…. Поскольку сами дроби при этом сходятся к √2, очень похоже на правду, что 12 √2= 33,588665890….

Итак, задавшись положительным числом x , можно возводить его вообще в любую степень — положительную, отрицательную, дробную или иррациональную. При этом будут выполняться приведенные выше правила действий со степенями, поскольку мы ввели определения таким образом, чтобы именно это и гарантировать! На рисунке 5.1 показаны графики функций x a для различных чисел a в интервале от −2 до 8. Отдельно отметим нулевую степень х 0, представляющую собой горизонтальную прямую на высоте 1 над осью x — то, что математики называют «постоянной функцией» (а медсестры в реанимации называют «остановкой»). Для любого аргумента x значение этой функции равно 1. Стоит еще обратить внимание, как быстро возрастают целочисленные степени x 2, x 3, x 8, а также — что имеет более прямую связь с главной темой этой книги — как медленно возрастают дробные положительные степени, такие как x 0,5.

Рисунок 5.1.Степенные функции x a для различных чисел a.

Возведение чисел в степени на первый взгляд выглядит похожим на умножение. Умножение сначала представляют как кратное сложение: 12×5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12, затем на следующем уровне сложности объясняется, что такое 12×5 1/ 2где на самом деле содержится кое-что еще, кроме кратного умножения. Похожим образом обстоит дело и с возведением в степень. Определить 12 5совсем легко, это кратное умножение: 12×12×12×12×12. Чтобы справиться с , требуются дополнительные объяснения, подобные тем, что предложены в предыдущем разделе.

Как я уже говорил, математики обожают обращать выражения. Скажем, пусть задано выражение величины P через Q . Отлично, давайте посмотрим, можно ли выразить Q через P . И здесь аналогия между умножением и возведением в степень нарушается. Обратить умножение легко: если x = a×b, то a = x:b и b = x:a. Деление полностью решает проблему обращения умножения.

Аналогия нарушается, потому что a×b всегда и без единого исключения равно a×b , но, к сожалению, неверно (за исключением случайных совпадений), что a b = b a (единственный случай, когда это так для целочисленных степеней и не совпадающих a и b — это 2 4= 4 2). Например, 10 2есть 100, но 2 10есть 1024. Поэтому, если мы собираемся обратить x = a b , то нам понадобятся две разные вещи: способ выразить a через x и b и, отдельно, способ выразить b через x и a. Первое — не проблема. Возведем обе части в степень 1/ b и в соответствии с 3-м правилом получим a = x 1/b (что согласно 6-му правилу означает, что a есть корень b- й степени из x ). Но как же выразить b через x и а ? Правила действий со степенями не дают здесь никаких подсказок.

Здесь-то и появляются логарифмы. Ответ таков: b есть логарифм x по основанию a. Это просто-напросто определение логарифма. Логарифм числа x по основанию a (обычно записываемый как log a x ) определяется как такое число b , для которого верно равенство x = a b. Это дает целое семейство логарифмических функций: логарифм x по основанию 2, логарифм x по основанию 10 (который более старшие читатели могут припомнить в качестве облегчающего вычисления средства, — его проходили в старших классах школы примерно до 1980 года) и т.д. Можно было бы представить их все в виде графиков, как это сделано для графиков функций х 0на рисунке 5.1.

Я не буду этого делать, потому что мне глубоко безразличны все члены логарифмического семейства, кроме одного — логарифма по основанию e , где e — необычайно важное, хотя и иррациональное число 2,71828182845…. Логарифм по основанию e — единственный, который меня интересует, и единственный, которым мы будем пользоваться в этой книге. На самом деле я больше не буду говорить «логарифм по основанию e », а буду говорить просто «логарифм». [37]Так что же такое логарифм числа x ? По данному выше определению, это такое число b , для которого делается верным равенство x = e b.

Поскольку ln x — это такое число b , для которого верно равенство x = e b , ясно, что x = e ln x . Это равенство — просто записанное математически определение того, что такое ln x . Но в дальнейшем оно будет играть такую важную роль, что мы сделаем из него правило.

x = e ln x .

Это верно для любого положительного числах. Например, ln 7 есть 1,945910… по той причине, что (с точностью до шести знаков после запятой) 7 = 2,718281 1,945910. Отрицательные числа не имеют логарифмов (хотя это еще одна вещь, по поводу которой я оставляю за собой право потом передумать). И нуль также не имеет логарифма. Не существует такой степени, в которую можно было бы возвести в, чтобы получить отрицательный или нулевой результат. Область определения логарифма составляют все положительные числа.

Логарифмическая функция присутствует повсеместно в рассматриваемой области математики. Мы уже встречали ее в главе 3.viii-ix, где она участвовала в Теореме о распределении простых чисел и в ее эквивалентных формулировках. Она будет появляться снова и снова в этой книге во всем, что имеет отношение к простым числам и дзета-функции.

Раз уж логарифмическая функция будет встречаться на каждом шагу, рассмотрим ее подробнее. На рисунке 5.2 показан график [38]функции ln x для аргументов, простирающихся до 55. В частности, отмечены значения этой функции для аргументов, равных 2, 6, 18 и 54. Эти аргументы растут «по умножению» на тройку, а как видно из графика, соответствующие значения функции растут равными шагами — т.е. «по сложению». Именно это обстоятельство подчеркивалось, когда мы говорили о логарифмической функции в главе 3.viii.