Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

После того как мы увидели, что же собой представляет Золотой Ключ, пришло время готовиться к тому, чтобы его повернуть. Для этого понадобится вспомнить некоторое количество математики, включая кусочек дифференциального и интегрального исчислений. В оставшейся части данной главы я приведу все, что нужно знать из дифференциального и интегрального исчисления, чтобы понять Гипотезу Римана и оценить ее значение. А затем, обратив необходимость в удобство, я воспользуюсь этими сведениями, чтобы представить улучшенный вариант ТРПЧ — вариант, имеющий более непосредственное отношение к работе Римана.

Обучение дифференциальному и интегральному исчислению традиционно начинается с графика. График, с которого мы начнем, — тот же, что и изображение логарифмической функции в главе 5.iii; теперь он воспроизведен на рисунке 7.1. Представьте себе, что вы — очень маленький (бесконечно малый, если получится представить) гомункулус, взбирающийся вверх по графику логарифмической функции слева направо. Если вы начали свое путешествие из какой-го точки, находящейся недалеко от нуля, то сначала путь вашего восхождения очень крутой и вам требуется скалолазное снаряжение. Но по мере продвижения ландшафт становится более пологим. К тому времени, как вы достигнете аргументов в районе 10, вы можете распрямиться и просто шагать, как на прогулке.

Рисунок 7.1.Функция ln x .

Степень крутизны кривой изменяется от точки к точке. Но в каждой точке наклон кривой имеет определенное численное значение — точно так же, как ваша машина, когда вы разгоняетесь, имеет определенную скорость в каждый данный момент времени — скорость, которую вы фиксируете, бросая взгляд на спидометр. Через мгновение она может слегка измениться, но в каждый определенный момент времени она имеет некоторое определенное значение. Точно так же для любого аргумента в своей области определения (которую составляют все числа, большие нуля) логарифмическая функция имеет некоторый определенный наклон.

Как нам измерить этот наклон и что это такое? Сначала давайте определим «наклон» наклонной прямой линии. Это подъем по вертикали, деленный на смещение по горизонтали. Если, пройдя по горизонтали расстояние в 5 единиц, вы поднялись на 2 единицы вверх, то, значит, наклон равен двум пятым, т.е. 0,4 (рис. 7.2).

Рисунок 7.2.Наклон.

Чтобы найти наклон некоторой кривой в произвольной точке на ней, построим прямую линию, касающуюся кривой в выбранной точке. Ясно, что имеется ровно одна такая прямая. Если я слегка ее «покачаю» (можно представлять себе, что прямая — это стальной стержень, а кривая — стальной обод), то точка касания с кривой слегка сместится. Наклон кривой в данной точке — это наклон этой единственной касательной в этой точке. Для ln x наклон при аргументе x = 10, если вы его измерите, равен 1/ 10. Наклон при аргументе 20, конечно, меньше этого; измерение дает 1/ 20. Наклон при аргументе 5 больше — и измерение дает 1/ 5. На самом деле еще одно поразительное свойство логарифмической функции состоит в том, что при любом аргументе x ее наклон равен 1/ x — числу, обратному x (обозначаемому еще как x −1).

Если вы когда-нибудь слушали лекции по дифференциальному исчислению, то все это вам хорошо знакомо. Дифференциальное исчисление в действительности начинается с такого утверждения: из любой функции f можно произвести другую функцию g , которая выражает наклон функции f при любом ее аргументе. Если f — это ln x , то g — это 1/ x . Произведенная таким образом функция называется, как ни странно, производной функции f . Например, 1/ x — это производная функции ln x . Если вам дали какую-то функцию f , то процесс нахождения ее производной называется дифференцированием.

Дифференцирование — действие, которое подчиняется некоторым простым правилам. Например, оно прозрачно для нескольких основных арифметических операций. Если производная функции f — это g, то производная функции 7 f — это 7 g. (Так что производная от 7∙ln x равна 7/ x .) Производная суммы f + g — это производная функции f плюс производная функции g. Правда, все не совсем так для умножения: производная произведения f и g не равна произведению производной функции f на производную функции g . [58]

Единственные функции, кроме логарифма, производные которых нам понадобятся в этой книге, — это простые степенные функции x N . Приведем без доказательства тот факт, что для любого числа N производная функции x N есть функция Nx N−1. Таблица 7.1 дает некоторые производные степенных функций.

Таблица 7.1.Производные функций x N .

Конечно, x 0— это просто единица, а график этой функции — горизонтальная прямая. У нее нет наклона — точнее, нулевой наклон. Дифференцирование любого фиксированного числа дает нуль. А x 1— это просто x , график же представляет собой прямую, идущую по диагонали вверх и покидающую рисунок через правый верхний угол. Наклон ее повсюду равен 1. Заметим, что нет такой степенной функции, производная которой была бы равна x −1, хотя x 0вроде бы стоит на правильном месте, чтобы дать такую производную. Это неудивительно, поскольку мы уже знаем, что производная ln x есть как раз x −1. Это еще одно свидетельство того, что ln x как будто пытается выдать себя за x 0.

Вы, должно быть, помните мои слова о том, что математики обожают все обращать. Если задано выражение P через Q , то как выразить Q через P ? Именно так мы исходно и получили логарифмическую функцию — как обращение показательной функции. Если a = e b , тот как найти b через a ? Как ln а .

Так вот, предположим, что мы продифференцировали функцию f и получили функцию g. То есть g представляет собой производную функции f. А f представляет собой… (что именно?!) функции g ? В чем состоит обращение дифференцирования? Производная ln x — это 1/ x , так что ln x — это… (что?) функции 1/ x ? Ответ: интеграл, вот что. Обращение производной — это интеграл, а обращение дифференцирования — это интегрирование . Поскольку вся эта деятельность прозрачна для умножения на фиксированное число, переворачивание таблицы 7.1 вверх ногами и некоторая ее «доводка» дадут нам обратную операцию, которая и представлена в таблице 7.2. И вообще, если только N не равно −1, то интеграл от функции x N равен x N+ 1 /(N + 1 ). (Взгляд на таблицу еще раз показывает, как функция ln x изо всех сил старается вести себя как функция x 0, каковой она, конечно, не является).