Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Всюду здесь π — это магическое число 3,14159265…, sin — добрая старая тригонометрическая функция синус (от аргумента, выраженного в радианах), а знак «!» обозначает факториальную функцию, упоминавшуюся уже в главе 8.iii. В математике, изучаемой в старших классах, вы встречались только с факториальной функцией, аргументами которой являются положительные целые числа: 2! = 1×2, 3! = 1×2×3, 4! = 1×2×3×4 и т.д. В высшей математике, однако, есть способ определить факториальную функцию для всех чисел, кроме отрицательных целых, для чего применяется прием расширения области определения вполне в духе того, которым мы только что пользовались. Например, ( 1/ 2)! оказывается равным 0,8862269254… (на самом деле — половине квадратного корня из π ), (− 1/ 4)! = 1,2254167024… и т.д. Отрицательные целые создают проблемы в этой формуле, но это не критические проблемы, и я ничего о них говорить не буду. На рисунке 9.11 изображена полная факториальная функция для аргументов от −4 до 4.

Рисунок 9.11.Полная факториальная функция x! .

Если вам кажется, что все это немного чересчур, то просто примите на веру, что имеется способ получить значение функции ζ(s) для любого числа s за единственным исключением s = 1. Даже если ваш взгляд никак не сфокусируется на приведенной выше формуле, то заметьте по крайней мере вот что: она выражает ζ( 1 − s) через ζ(s) ; если вы знаете, как посчитать ζ (16), то вы можете тогда вычислить ζ (−15); если вам известна ζ (4), то вы можете вычислить ζ (−3); если вам известна ζ (1,2), то вы можете выделить ζ (−0,2); если вам известна ζ (0,6), то вы можете вычислить ζ (0,4); если вам известна ζ (0,50001), то вы можете вычислить ζ (0,49999), и т.д. Вопрос, к которому я подбираюсь, — это что аргумент «одна вторая» имеет особый статус в приведенном соотношении между ζ( 1 − s) и ζ(s) , потому что если s = 1/ 2, то 1 − s = s . Очевидно — я хочу сказать, очевидно из рисунка 5.4и рисунков с 9.3по 9.10, — что дзета-функция не симметрична относительно аргумента 1/ 2. И тем не менее ее значения при аргументах слева от 1/ 2связаны с их зеркальными образами справа весьма тесным, хотя и не самым простым образом.

Снова посмотрев на набор графиков, можно заметить кое-что еще: ζ(s) равна нулю всегда, когда s — отрицательное четное число. А если при каком-то аргументе значение функции равно нулю, то этот аргумент называется нулем данной функции. Итак, верно следующее:

− 2, − 4, − 6 и все остальные отрицательные четные целые числа являются нулями дзета-функции.

А взглянув на утверждение Гипотезы Римана, мы увидим, что в ней говорится про «все нетривиальные нули дзета-функции». Неужели мы у цели? Увы, нет: отрицательные четные числа и в самом деле нули дзета-функции, но все они до единого — тривиальные нули. Чтобы добраться до нетривиальных нулей, нам надо нырнуть поглубже.

В качестве добавления к этой главе еще чуть разовьем наш анализ, применив к выражению (9.2)два результата из тех, что были сформулированы в главе 7. Выпишем это выражение снова:

Все, что я собираюсь сделать, — это проинтегрировать обе части. Поскольку интеграл от 1/ x равен ln x , я надеюсь, что не слишком злоупотреблю вашим доверием, если скажу (не останавливаясь на доказательстве), что интеграл от 1/(1 − x ) равен −ln(1 − x ). С правой частью равенства все еще проще. Можно просто интегрировать один член за другим, используя правила интегрирования степеней, сформулированные в таблице 7.2. Результат (впервые полученный сэром Исааком Ньютоном) имеет вид:

Будет чуть удобнее, если обе части умножить на −1:

Несколько странно, хотя для наших целей и несущественно, что выражение (9.3)верно при x = −1, тогда как выражение (9.2), с которого мы начали, при этом неверно. Действительно, при x = −1 выражение (9.3)дает следующий результат:

Отметим сходство с гармоническим рядом. Гармонический ряд… простые числа… дзета-функция…. Во всей этой области господствует логарифмическая функция.

Правая часть выражения (9.4)несколько своеобразна, хотя этого и не заметить невооруженным взглядом. Она в действительности является стандартной (из учебников) иллюстрацией того, насколько хитрой вещью являются бесконечные ряды. Этот ряд сходится к ln 2, что составляет 0,6931471805599453…, но только если складывать члены именно в этом порядке. Если складывать в другом порядке, ряд может сойтись к чему-нибудь другому — или может даже вообще не сойтись! [76]

Рассмотрим, например, такую перестановку членов ряда: 1 − 1/ 2− 1/ 4+ 1/ 3− 1/ 6− 1/ 8+ 1/ 5− 1/ 10− …. То же самое, но с расставленными скобками: (1 − 1/ 2) − 1/ 4+ ( 1/ 3− 1/ 6) − 1/ 8+ ( 1/ 5− 1/ 10) − …, т.е. 1/ 2(1 − 1/ 2+ 1/ 3− 1/ 4+ 1/ 5− …). Сумма ряда с переставленными членами равна половине сумм исходного ряда! [77]

Ряд из выражения (9.4) — не единственный, обладающий таким настораживающим свойством. Сходящиеся ряды разбиваются на две категории: те, у которых есть такое свойство, и те, у которых его нет. Ряды, подобные рассмотренному, сумма которых зависит от порядка суммирования, называются «условно сходящимися». Ряды, ведущие себя получше и сходящиеся к одному и тому же пределу независимо от того, как переставлены слагаемые, называются «абсолютно сходящимися». Большая часть важных в анализе рядов сходятся абсолютно. Тем не менее для нас первоочередной интерес будет представлять еще один ряд, сходящийся лишь условно, подобно ряду из выражения (9.4). Мы встретимся с ним в главе 21.

Работа 1859 года «О числе простых чисел, не превышающих данной величины» была единственной публикацией Бернхарда Римана по теории чисел, а также единственной из всех написанных им работ, которая вовсе не содержала никаких геометрических идей.

Эта блестящая и основополагающая статья была, однако, неудовлетворительна в некоторых отношениях. Прежде всего, имелась сама великая Гипотеза, которую Риман оставил висеть в воздухе (где она пребывает и поныне). Его собственные слова после формулировки утверждения, эквивалентного Гипотезе, были такими: