Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Можно выделить и другие категории чисел или внутри приведенной схемы N—Z—Q—R—C, или же «нарезав ее поперек». Очевидный пример доставляют простые числа — подмножество в N. Их совокупность иногда обозначается как P. Имеется также очень важное подмножество в С, называемое алгебраическими числами и иногда снабжаемое собственной ажурной буквой А. Алгебраическое число — это такое число, которое является нулем некоторого многочлена, все коэффициенты которого взяты из Z, например, 2 x 7− 11 x 6− 4 x 5+ 19 x 3− 35 x 2+ 8 x − 3. Среди вещественных чисел каждое рациональное (и, следовательно, каждое целое и натуральное) — алгебраическое; 39 541/ 24 565 есть корень многочлена 24 565 x − 39 541 (или, если вы предпочитаете язык уравнений и их решений языку функций и их нулей, — решение уравнения 24 565 x − 39 541 = 0). Иррациональное число может быть, а может и не быть алгебраическим. Те, которые не являются алгебраическими, называются трансцендентными. И число π , и число e трансцендентны, как это доказали, соответственно, Эрмит в 1873 году и Фердинанд фон Линдеманн в 1882.

На рассматриваемый предмет можно взглянуть и с другой стороны, в аспекте истории чисел, которую я тут скроил. «Скроил» — почти в том же смысле, в каком было сшито новое платье короля. На самом деле это полное вранье.

Люди всегда умели считать. С доисторических времен у них была N— система натуральных чисел. Но Nнесет в себе запрет, невозможность. Нельзя вычесть большее число из меньшего. По мере развития техники это превратилось в препятствие. Температура была 5 градусов, а потом понизилась на 12 градусов — какая стала температура? В Nнет ответа на этот вопрос. Тогда люди изобрели отрицательные числа. Да, и кто-то еще додумался до нуля.

Отрицательные числа, положительные числа и нуль были собраны вместе в новую систему Z.Однако Zнесет в себе невозможность, запрет. Нельзя поделить число на другое число, не являющееся делителем первого. Можно поделить 12 на 3 (ответ: 4) или даже на −3 (ответ: −4), но нельзя поделить 12 на 7. В Zнет ответа для такого действия. По мере развития науки об измерениях это превратилось в препятствие. Для все более точной работы требуются все более точные измерения. Можно на время добиться желаемого совершенства, если ввести новые единицы измерения. Требуется что-то меньшее одного ярда? Хорошо, вот вам дюйм… Однако есть пределы тому, как далеко можно продвинуться таким образом, и насущной стала нужда в общем способе выражения долей единицы. Так были изобретены дроби.

Дроби вместе со всеми целыми были собраны в новую систему рациональных чисел Q. Увы, Qнесет в себе свой собственный запрет. Не всегда удается найти предел сходящейся последовательности. Три примера таких последовательностей были приведены в главе 1.vii. По мере развития науки к моменту, когда потребовался анализ, это стало препятствием, поскольку весь анализ основан на идее предела. Для развития анализа были изобретены иррациональные числа.

Иррациональные числа вместе с рациональными (включая, разумеется, все целые) были собраны в новую систему вещественных чисел R. Но и вещественные числа по-прежнему содержали запрет. Нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа. К концу XVI века математика развилась до такой степени, что это стало препятствием. Так были изобретены мнимые числа. Мнимое число — это квадратный корень из отрицательного числа.

Мнимые числа вместе со всеми вещественными составили великий новый синтез: комплексные числа C.С комплексными числами нам доступно все, никаких запретов нет — и наступил конец истории.

Подчеркну, что эта история — полная фальшивка. Наше понимание чисел вовсе не развивалось подобным образом. Порядок — и тот неправильный. Он должен быть таким: N, Q, R, Z, С. Натуральные числа и правда были известны в доисторические времена. Египтяне изобрели дроби в начале третьего тысячелетия до P.X. Пифагор (или один из его учеников) открыл иррациональные числа около 600 года до P.X. Отрицательные числа возникли во времена Возрождения из необходимости бухгалтерского учета (хотя нуль появился чуть раньше). Комплексные числа появились в XVII веке. Все это развивалось малопредсказуемым образом, хаотично, как и большая часть того, что делают люди. Неверно и то, что наступил конец истории. История никогда не кончается; как только одна шахматная партия доиграна, немедленно начинается следующая.

Что моя подложная история все же показывает, так это каким образом матрешки помещаются одна в другой; надеюсь также, что она проливает некоторый свет на то, почему математики не склонны воспринимать мнимые и комплексные числа как нечто необычное. Эти числа представляют собой просто еще одну матрешку, созданную с практическими целями — решать задачи, которые иначе не решаются.

Утомительно все время писать √−1, поэтому математики заменили эту величину буквой i . Поскольку i — квадратный корень из минус единицы, имеем i 2= −1. Умножая здесь обе части равенства на i , находим, что i 3= − i . Продолжая процесс, получаем i 4= 1.

А как обстоят дела с √−2, √−3, √−4 и т.д.? Не понадобятся ли и для них отдельные обозначения? Нет. Согласно обычным правилам перемножения целых чисел, имеем −3 = −1×3. Поскольку √ x есть просто x 1/2, 7-е правило действий со степенями говорит нам, что √(a×b) = √a×√b. (Например, √(9×4) = √9×√4 — довольно изысканный способ записи того факта, что 6 = 3×2.) Итак, √−3 = √−1×√3. Далее, √3, понятно, — совершенно обычное вещественное число, имеющее значение 1,732050807568877…. Следовательно (с точностью до трех знаков после запятой), √−3 = 1,732 i ; в замкнутом виде это обычно записывают как i √3. То же относится и к корню из любого другого отрицательного числа. Целой кучи новых чисел не требуется; достаточно одного только i .

Так вот, i — очень гордое число. Оно довольно надменно и не любит путаться с другими числами. Прибавим 3 к 4; в полученной семерке исчезло всякое воспоминание о «тройности» тройки, как, впрочем, и о «четверности» четверки; они растворились в «семерности» семерки. Напротив, если мы прибавим 3 к i , то получим… 3 + i . И такая же история с умножением. Когда мы умножаем 5 на 2, вся «пятерность» пятерки и «двойность» двойки проглатываются «десятностью» десятки, исчезая без следа. Но, умножая 5 на i , получаем… 5 i . Дело выглядит так, словно i никак не может расстаться со своей индивидуальностью; или, быть может, вещественные числа чувствуют, что i сделано из другого теста, чем они сами.