Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
- Название:Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
- Автор:
- Жанр:
- Издательство:Астрель: CORPUS
- Год:2010
- Город:Москва
- ISBN:978-5-271-25422-2
- Рейтинг:
- Избранное:Добавить в избранное
-
Отзывы:
-
Ваша оценка:
Джон Дербишир - Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. краткое содержание
Сколько имеется простых чисел, не превышающих 20? Их восемь: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19. А сколько простых чисел, не превышающих миллиона? Миллиарда? Существует ли общая формула, которая могла бы избавить нас от прямого пересчета? Догадка, выдвинутая по этому поводу немецким математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, для многих поколений ученых стала навязчивой идеей: изящная, интуитивно понятная и при этом совершенно недоказуемая, она остается одной из величайших нерешенных задач в современной математике. Неслучайно Математический Институт Клея включил гипотезу Римана в число семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых установлена награда в один миллион долларов. Популярная и остроумная книга американского математика и публициста Джона Дербишира рассказывает о многочисленных попытках доказать (или опровергнуть) гипотезу Римана, предпринимавшихся за последние сто пятьдесят лет, а также о судьбах людей, одержимых этой задачей.
Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. - читать онлайн бесплатно ознакомительный отрывок
Интервал:
Закладка:
У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)
Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного a имеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi, где b свободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?
Последнее замечание подсказывает ответ. Для каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.
Рисунок 11.2.Комплексная плоскость и точка z на ней (изображена точка −2,5 + 1,8 i ); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.
Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i , 2 i , 3 i и т.д. Чтобы добраться до числа a + bi, надо уйти на расстояние a на восток (на запад, если a отрицательно), а затем на расстояние b на север (на юг, если b отрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0 i , т.е. попросту нуль.
Введем три новых профессиональных термина. Модуль комплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z| , что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + bi есть . Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фаза комплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это π радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между −π (не включая) до π (включая), а обозначается она как Φ(z) . [93]У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна −π , у положительных мнимых равна π /2, а у отрицательных мнимых фаза равна −π /2.
И наконец, комплексным сопряжением комплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + bi есть a − bi . Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой». {2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)×(a − bi) = a 2 + b 2, что, как видно, есть квадрат модуля числа a + bi . На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать z×z' = |z| 2, а фокус с делением выражается как z/w = (z×w')/|w| 2 .
Модуль комплексного числа −2,5 + 1,8 i , показанного на рисунке 11.2, равен √9,49, то есть около 3,080584, фаза составляет 2,517569 радиана (или, если вам так больше нравится, 144,246113 градуса), а сопряженное число, конечно, есть −2,5 − 1,8 i .
Чтобы продемонстрировать комплексную плоскость в действии, я чуть-чуть потренируюсь в анализе с комплексными числами. Рассмотрим бесконечный ряд из выражения (9.2):
1/(1 − x ) = 1 + x + x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6+ …
( x лежит строго между −1 и 1).
Поскольку здесь не предпринимается никаких действий, кроме сложения, умножения и деления чисел, нет причин, по которым x нельзя было бы сделать комплексным числом. Работает ли эта формула для комплексных чисел? Да, при определенных условиях. Пусть, например, x равен 1/ 2 i . Тогда ряд сходится. Имеем
1/(1 − i/2 ) = 1 + 1/ 2 i + 1/ 4 i 2+ 1/ 8 i 3+ 1/ 16 i 4+ 1/ 32 i 5+ 1/ 64 i 6+ …
Левая часть вычисляется с помощью рассмотренного выше фокуса с делением как 0,8 + 0,4 i . Правую часть можно упростить, используя тот факт, что i 2 = −1:
0,8 + 0,4 i = 1 + 1/ 2 i − 1/ 4+ 1/ 8 i − 1/ 16+ 1/ 32 i − 1/ 64+ …
Можно пройти правую часть этой формулы на комплексной плоскости. Идея видна из рисунка 11.3. Начнем из точки 1 (которая, разумеется, расположена на вещественной оси). Оттуда идем на север, что соответствует прибавлению 1/ 2 i . Затем на запад на 1/ 4потом на юг в соответствии с вычитанием 1/ 8 i и т.д. Получается спираль, замыкающаяся на комплексном числе 0,8 + 0,4 i . Вот вам анализ в действии — бесконечный ряд сходится к этому пределу.
Рисунок 11.3.Анализ на комплексной плоскости.
Заметим, что при переходе к комплексным числам мы потеряли простоту одного измерения, но зато приобрели некоторые преимущества наглядности. При наличии в нашем распоряжении двух измерений можно, как мы только что это и делали, демонстрировать математические результаты в виде замечательных наглядных образов и картинок. В этом до известной степени и состоит привлекательность комплексного анализа (для меня, во всяком случае). В главе 13 мы сможем увидеть дзета-функцию Римана (и саму великую Гипотезу!), выраженную в виде изящных узоров на комплексной плоскости.
Глава 12. Восьмая проблема Гильберта
Давиду Гильберту было 38 лет, когда утром в среду 8 августа 1900 года он выходил к трибуне 2-го международного конгресса математиков. Сын судьи из столицы Восточной Пруссии Кенигсберга [94], он прославился как математик за 12 лет до того, решив проблему Гордана в теории алгебраических инвариантов.
То был не просто succès d'estime, но до некоторой степени и succès de scandale. [95]Гильберт смог доказать существование объектов, но при этом не сконструировал их, не предложил даже метода для их построения. Математики говорят о таком как о «доказательстве существования». В своих лекциях Гильберт использовал следующий бытовой пример: «Среди вас имеется по крайней мере один студент — назовем его X , — в отношении которого верно следующее утверждение: ни у одного другого студента в аудитории нет на голове большего числа волос, чем у X . Кто этот студент? Этого мы никогда не узнаем; но в его существовании мы можем быть абсолютно уверены». Доказательства существования довольно распространены в современной математике и в наше время не вызывают особых возражений. Другое дело — Германия 1888 года. Лишь за год до того Леопольд Кронеккер, уважаемый член Берлинской академии наук, выступил с манифестом «О концепции числа», в котором сделал попытку изгнать из математики то, что он считал ненужным уровнем абстракции — все, по его мнению, что нельзя вывести из целых чисел за конечное число шагов. Гордан сам отозвался о гильбертовом доказательстве существования фразой, ставшей знаменитой: «Это не математика. Это теология».
Читать дальшеИнтервал:
Закладка: