Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

Например, квадраты образуют фишки, составляющие концы креста, фишки, расположенные в центре, а также фишки, которые отмечены буквами А и В .

Какие 6 фишек следует убрать, чтобы никакая четверка оставшихся фишек не располагалась в вершинах какого-нибудь квадрата?

283. Треугольные посадки.У одного человека было 21 дерево. Деревья были посажены в форме треугольника (см. рисунок).

Если владелец деревьев захочет огородить какой-нибудь треугольный участок своей земли с деревьями по углам, то сколькими способами он сможет это сделать?

Пунктирные линии показывают три возможных способа. А сколько их всего?

284. Круг и диски.Как-то на ярмарке мы увидели человека, который сидел за столом, покрытым клеенкой с большим красным кругом в центре. Человек предлагал публике закрыть круг пятью тонкими дисками, которые лежали рядом, обещая тому, кто сумеет это сделать, ценный приз. Все диски были одинакового размера, разумеется, меньшего, чем красный круг (на рисунке для наглядности изображены только три диска).

Человек утверждал, что справиться с заданием очень легко, и сам, играючи, покрывал круг дисками. Те же, кто пытался сделать это после него, неизменно терпели неудачу. Я забыл вам сказать об одном существенном уcловии: раз положив диск, его нельзя было больше сдвигать, иначе справиться с заданием удалось бы довольно просто. Предположим, что диаметр красного круга равен 6 дм. Каким должен быть наименьший диаметр (скажем, с точностью до ½ дм) пяти дисков, чтобы с их помощью можно было бы закрыть круг?

285. Три изгороди.Однажды за чашкой чая полковник Крэкхэм сказал:

— У одного человека было круглое поле, и он захотел разделить его на 4 равные части тремя изгородями равной длины. Как это можно сделать?

— А для чего ему нужны были заборы одинаковой длины? — спросила Дора.

— Сведений об этом не сохранилось, — ответил полковник. — Нам не известно также ни того, зачем он делил поле на 4 части, ни того, деревянными или железными были изгороди, ни того, пастбище или пашню представляло собой поле. Я не могу даже назвать имя этого человека, не то что сказать, каков цвет его волос. Можно показать, что для решения головоломки все эти сведения не существенны.

286. Квадратура круга.Задача о квадратуре круга сводится к отысканию отношения диаметра к длине окружности. Его нельзя найти с абсолютной, но можно определить с достаточной точностью, чтобы использовать для практических целей.

Точно так же в евклидовой геометрии нельзя построить отрезок прямой, равный длине заданной окружности. Конечно, можно получить достаточно точный результат, поставив на ребро монету и аккуратно прокатив ее по прямой на листе бумаги, но прокатить подобным образом сад круглой формы не так-то просто.

На рисунке изображена ломаная линия, длина которой очень близка к длине изображенной окружности. Горизонтальное звено этой ломаной равно половине длины окружности. Не могли бы вы найти ее с помощью простого метода, в котором использовались бы только карандаш, циркуль и линейка?

287. Автомобиль и круг.Автомобиль едет по кругу. Его колеса, расположенные с внешней стороны круга, движутся вдвое быстрее колес, расположенных с внутренней стороны.

Чему равна длина окружности, которую проходят внешние колеса, если расстояние между колесами на обеих осях 1,5 м?

288. Точильный круг.Три человека купили точильный круг диаметром 20 см. Сколько должен сточить каждый из компаньонов, чтобы круг был разделен поровну, если исключить 4 см диаметра, которые пошли на отверстие? Практическая ценность каждой доли не учитывается, речь идет лишь о равном дележе общей массы круга.

289. Автомобильные колеса.«Видите ли, сэр, — сказал продавец автомобилей, — переднее колесо автомобиля, который вы покупаете, каждые 360 футов делает на 4 оборота больше заднего; но если бы вы уменьшили длину окружности каждого колеса на 3 фута, то переднее колесо на таком же расстоянии делало бы на целых 6 оборотов больше заднего».

Почему покупателю не захотелось, чтобы разность числа оборотов возрастала, нас не касается. Головоломка состоит в том, чтобы найти длину окружности каждого колеса. Это очень легко сделать.

290. Недоразумение с колесом.Вот одно любопытное недоразумение, которое многих крайне озадачивает. Колесо делает полный оборот, пройдя расстояние от А до В . Очевидно, что отрезок АВ равен именно длине окружности колеса. Хотя для произвольного диаметра мы не сможем точно определить эту длину [16] Точнее говоря, не сможем выразить ее рационально через диаметр. — Прим. перев. , тем не менее мы сумеем найти для нее приближенное значение с достаточной степенью точности. Так, если у нас колесо диаметром 28 см, мы можем умножить диаметр на 22, разделить на 7 и получим искомую длину — 88 см. Это, конечно, слишком грубое приближение, но если мы умножим его на 355 и разделим на 113, то получим 87,9646, что уже лучше, а умножив на 3,1416, мы получим 87,9648 — еще лучшее приближение. Но это между прочим.

Теперь заметим, что внутренний круг (ступица) тоже делает полный оборот вдоль воображаемой пунктирной линии CD , а так как CD равно АВ , длины меньшей и большей окружностей равны! Разумеется, даже младенцу с первого взгляда ясно, что это не верно. И все же, где именно допущена ошибка?

Попытайтесь ее найти. Не может быть и тени сомнения в том, что ступица за один полный оборот проходит расстояние от С до D . Тогда почему же CD не равно длине ее окружности?

291. Знаменитый парадокс.Есть такой вопрос, который задают постоянно, но на который я никогда не слышал удовлетворительного или достаточно убедительного для неискушенного человека ответа. Он состоит в следующем: «Движется ли на ходу верхняя часть велосипедного колеса быстрее нижней?»

Люди, не привыкшие к точному мышлению, неизменно встречают такой вопрос смехом и отвечают: «Разумеется, нет!» Они считают подобный вопрос совершенно нелепым и не достойным даже того, чтобы всерьез над ним призадуматься. «Колесо, —говорят они, — это твердое тело, вращающееся вокруг центральной оси, и если одна из его частей стала бы двигаться быстрее другой, то оно разлетелось бы вдребезги».