Генри Дьюдени - Пятьсот двадцать головоломок

159. Из зерна крестьянина должно было получиться 1 мешка муки, что после уплаты всей муки как раз и даст ровно один мешок.

160. Ответ задачи: полкурицы плюс полкурицы, то есть одна курица. Если полторы курицы несут полтора яйца за полтора дня, то одна курица несет по одному яйцу за полтора дня. Курица, которая несется лучше в полтора раза, несет полтора яйца за полтора дня, или по яйцу а день. Поэтому она снесет 10½ яиц (десяток яиц с половиной) за 10½ дня (полторы недели).

161. У Адама было 60 овец, у Бена 50, у Клода 40 и у Дана 30. После всех перераспределений у каждого оказалось по 45 овец.

162. Наименьшее возможное количество яиц равно 103, а женщина ежедневно продавала по 60 штук. Любые кратные этих чисел можно использовать в качестве ответа на вопрос задачи. Например, женщина могла привезти 206 яиц и продавать по 120 штук или привезти 309 яиц и продавать по 180. Поскольку требовалось найти наименьшее число, то ответ единствен.

163. Нужно просто разделить данное число на 8. Если оно разделится нацело, без остатка, то мышка — во второй бочке. Если остаток будет равен 1, 2, 3, 4 или 5, то номер бочки совпадет с этим остатком. Если остаток получится .больше 5, то его нужно вычесть из 10. Полученная разность равна номеру бочки. Число 500 при делении на 8 дает в остатке 4, так что на искомой бочке изображена цифра 4.

164. Пять бригад насчитывают соответственно по 5670, 6615, 3240, 2730 и 2772 человека. После приведения всех дробей к общему знаменателю (12 012) числители станут равны соответственно 4004, 3432, 7007, 8316 и 8190. Комбинируя все различные делители, содержащиеся в этих числах, мы получаем 7 567 560, что при делении на каждое из чисел даст соответственно 1890, 2205, 1080, 910 и 924. Поскольку в условии говорится, что соединение насчитывает «немногим более 20 тыс. человек», мы умножаем полученные числа на 3, что и дает правильную общую численность в 21 027 человек.

165. Всего голосовавших было 207. Сперва 115 избирателей проголосовало «за» и 92 «против», причем большинство составило 23 голоса, что как раз и равно одной четверти от 92. Но когда 12 человек, для которых не нашлось стульев, присоединились к оппозиции, оказалось, что «за» подано 103, а «против» — 104 голоса. Так что победили противники забастовки большинством в один голос.

166. Артур может выполнить всю работу за 14 ) Бенджамин — за 17 и Чарлз — за 23 дня.

167. Сумма номеров тех домов, которые расположены по одну сторону от данного, совпадет с суммой номеров по другую сторону от него в следующих случаях: 1) если номер данного дома равен 1 и других домов вообще нет; 2) если номер равен 6 и всего имеется 8 домов; 3) если номер равен 35, а всего домов 49; 4) если номер дома 204, а всего домов 288; 5) если номер дома 1189, а всего домов 1681 и т. д. Однако нам известно, что число домов больше 50 и меньше 500; следовательно, искомый номер равен 204.

Решив уравнение ( x 2+ x )/2 = y 2в целых числах, получим ответы:

и т. д.

168. Номер дома Брауна 84, а всего на улице 119 домов. Сумма чисел от 1 до 84 равна 3570, а сумма чисел от 1 до 119 составит 7140, что, как и требовалось, ровно в 2 раза больше.

Выпишем последовательные решения (в целых числах) уравнения 2 x 2- 1 = y 2:

и т. д. Тогда целая часть [37] Целой частью числа называется наибольшее целое число, не превосходящее данное. — Прим. перев. x/ 2 даст нам номер дома, а целая часть y/ 2 — общее число домов. Так (опуская тривиальный случай 0—0), мы получаем 2—3, 14—20, 84—119, 492—696 и т.д.

169. На нечетной стороне улицы номер дома равен 239, а всего на ней расположено 169 домов. На четной стороне улицы номер дома равен 408, а всего на ней расположено 288 домов.

В первом случае мы ищем решение в целых числах уравнения 2 x 2- 1 = y 2. Получаем следующие ответы:

и т. д.

Во втором случае мы ищем решение в целых числах уравнения 2( x 2+ x ) = y 2. Получаем следующее:

и т. д.

Эти два случая, равно как и предыдущие две головоломки, похожи друг на друга и используют хорошо известное уравнение Пелля.

170. Ошибка Хильды состояла в том, что заданное число она умножила не на 409, а на 49. Разделив величину от полученной погрешности на разность этих чисел, получим требуемое число 912.

171. Семнадцать лошадей требовалось поделить в пропорциях : ½, ⅓, . Это не означает, что сыновья должны получить такие доли от числа 17. Пропорции можно записать также в виде , и . так что сыновья получат соответственно по 9, 6 и 2 лошади каждый и завещание будет строго соблюдено. Следовательно, нелепый старый метод, о котором упомянул Проджерс, случайно приводит к правильному решению.

Один читатель прислал мне следующее хитроумное решение:

172. Перечислим шесть прямоугольных треугольников, имеющих одинаковый, наименьший из возможных (720), периметр: 180, 240, 300; 120, 288, 312; 144, 270, 306; 72, 320, 328; 45, 336, 339; 80, 315, 325.

173. Запишем следующую последовательность чисел, впервые исследованную Леонардо Фибоначчи (родился в 1175 г.), который практически ввел в европейский обиход привычные нам арабские цифры:

Каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Сумма всех чисел, от первого до данного на 1 меньше числа, идущего через один после данного. Если удвоить любой член последовательности и прибавить к нему предыдущий, то получится член, который следует через один после данного. Далее, в первый год приплод будет составлять 0 телок, во второй 1, на третий 1, на четвертый 2 и т. д. При этом как раз и получатся члены данной последовательности. Двадцать пятый член равен 46 386, и если мы сложим все 25 членов, то получим правильный ответ 121 392. Но на самом деле нет необходимости выполнять это сложение. Найдя, двадцать четвертый и двадцать пятый члены, мы просто скажем, что 46 368, умноженное на 2, плюс 28 657 равно 121 393, и вычтем затем 1.