Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Позднейшие математики воспринимали то, что было опущено у Эвклида, в ином свете. Вместо поисков новых средств для решения этих задач они озаботились вопросом о том, чего можно достичь, используя ограниченные средства, выбранные Эвклидом, — циркуль и линейку (причем без всякого жульничества с нанесенными на нее делениями: греки знали, что «прием вставки» [7] Нулевое деление линейки скользит по заданной кривой, при этом линейка все время проходит через выделенную точку вне кривой. Имеется вторая кривая, и при каждом положении линейки фиксируется то деление на ней, на котором ее пересекает эта вторая кривая. При том положении линейки, когда отмеренная таким образом длина оказывается равной некоторой заданной, по линейке проводится прямая. (Примеч. перев.) со скользящей линейкой с делениями позволяет эффективно и точно разделить угол на три части; один такой метод был изобретен Архимедом). Нахождение того, что можно сделать, а чего нельзя, а также доказательство этого заняли долгое время. К концу 1800-х годов стало окончательно ясно, что ни одну из приведенных выше задач нельзя решить, используя только циркуль и линейку.

Трисекция угла Архимедом.

Это был замечательный шаг вперед. Вместо того чтобы доказывать, что какой-то конкретный метод позволяет решить конкретную задачу, математики научились доказывать противоположное, причем в очень сильной форме: никакой метод из такого-то класса не способен решить такую-то задачу. Математики начали постигать внутренние ограничения, присущие их предмету. Здесь особенно зачаровывает дополнительный штрих, состоящий в том, что, даже утверждая наличие подобных ограничений, математики смогли доказать, что это в самом деле настоящие ограничения.

В надежде избежать неправильного понимания я хочу отметить ряд важных аспектов задачи о трисекции угла.

Требуется точное построение. Это очень жесткое условие в рамках идеализированной греческой формулировки геометрии, где линии считаются бесконечно тонкими, а точки — имеющими нулевой размер. Требуется разделить угол на три совершенно равные части. Равные не с точностью во столько-то десятичных знаков, будь то сотня или миллиард, — построение должно иметь бесконечную точность. В том же духе, правда, нам разрешается с бесконечной точностью помещать циркуль в любую точку, которая нам задана или которая возникла в процессе построения; раствор циркуля можно с бесконечной точностью задавать равным расстоянию между любыми двумя такими точками; кроме того, можно проводить прямую линию, проходящую точно через любые две такие точки.

В нашей менее совершенной реальности все не так. Так бесполезна ли геометрия Эвклида в нашем реальном мире? Нет. Например, если вы действуете так, как предписывает Эвклид в Предложении 9, имея реальный циркуль и реальный лист бумаги, то вы получите очень неплохую биссектрису. До появления компьютерной графики чертежники именно так и делили на чертежах угол на две части. Идеализация — не недостаток; она представляет собой основную причину, по которой математика вообще работает. В рамках идеализированной модели можно рассуждать логически, потому что точно известны свойства всех участвующих в ней объектов. Реальный мир с его элементами хаоса не таков.

Однако и идеализация имеет свои пределы, из-за которых модель может иногда стать непригодной. Бесконечно тонкие линии, например, не очень хороши в качестве разметки на дорогах [8] Именно неидеальность линий требует специальных правил, оговаривающих «черту» в различных видах спорта. (Примеч. перев.) . Модель следует приспособить к соответствующему контексту. Модель Эвклида была приспособлена таким образом, чтобы облегчить вывод логических зависимостей между геометрическими утверждениями. В качестве бонуса она может быть полезна для понимания реального мира, хотя это ни в коей мере не занимало центрального места в рассуждениях Эвклида.

Следующее замечание связано с предыдущим, но идет в несколько ином направлении. Не составляет труда найти построения для приближенной трисекции углов. Если вам требуется точность в один процент или в одну тысячную процента, этого можно добиться. Когда ошибка составляет тысячную долю толщины линии, которую проводит ваш карандаш, она и в самом деле не слишком важна для технических чертежей. Математическая же задача ставится об идеальной трисекции. Можно ли произвольный угол точно разбить на три части? И ответ здесь — нет.

Иногда говорят, что «нельзя доказать отрицание». Математики знают, что такое утверждение — чушь. Более того, отрицание может обладать собственным очарованием, в особенности когда для доказательства невозможности чего-либо требуются новые методы. Такие методы часто оказываются более мощными и более интересными, чем положительные решения. Когда кто-то изобрел новый мощный метод, позволяющий характеризовать вещи, которые можно построить циркулем и линейкой, а также отделил их от тех, построить которые таким образом нельзя, возникает совершенно новый способ мышления. А за ним приходят новые идеи, новые задачи, новые решения — и новые математические теории и инструменты.

Нельзя использовать инструменты, которые нельзя построить. Вам не удастся позвонить другу по мобильному телефону, если мобильных телефонов не существует. Или съесть суфле из шпината, если никто не изобрел сельского хозяйства или не придумал, как пользоваться огнем. Так что создание инструментов может оказаться не менее важным, чем решение задач.

Возможность деления углов на равные части тесно связана кое с чем более милым — с построением правильных многоугольников.

Многоугольник — это замкнутая фигура, образованная отрезками прямых линий. Треугольники, квадраты, прямоугольники, ромбы типа такого — все они многоугольники. Окружность не есть многоугольник, потому что ее «сторона» представляет собой кривую, а не некоторое число отрезков. Многоугольник называется правильным, если все его стороны имеют одну и ту же длину, а каждая пара соседних сторон пересекается под одним и тем же углом. На рисунке приведены правильные многоугольники с числом сторон 3, 4, 5, 6, 7 и 8.

Правильные многоугольники.

Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник, — что выглядит не слишком красиво, но когда дело доходит до необходимости говорить о многоугольнике с 17 сторонами, такая запись, как «17-угольник», оказывается достаточно практичной. А что касается 65537-угольника (да, такие бывают!) — полагаю, вы уловили суть.