Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

На большом расстоянии от вершины конуса кривые, составляющие гиперболу, проходят все ближе и ближе к двум прямым линиям, которые параллельны тем прямым, где конус пересекла бы параллельная плоскость, проходящая через вершину. Эти прямые называются асимптотами.

Конические сечения.

Греческие геометры широко изучали конические сечения, и в этом и состоит их основной вклад в прогресс за рамками тех идей, что были зафиксированы Эвклидом. Эти кривые жизненно важны и в современной математике, но по причинам, сильно отличным от тех, что двигали греками. С алгебраической точки зрения они представляют собой следующие по степени простоты кривые после прямых линий. Они важны и в прикладной науке. Орбиты планет в Солнечной системе являются эллипсами, как это заключил Кеплер на основе наблюдений Тихо Браге за Марсом. Эллиптичность орбит послужила одним из соображений, которые привели Ньютона к формулировке его знаменитого «закона обратных квадратов» для гравитации. Это в свою очередь позволило понять, что целый ряд аспектов нашей вселенной ясно проявляет математические закономерности. Это радикально отразилось на астрономии, поскольку движения планет стали поддаваться вычислениям.

Большинство сохранившихся математических работ Омара посвящены теории уравнений. Он рассматривал решения двух типов. Первые, в духе Диофанта, он называл алгебраическими решениями в целых числах; пожалуй, больше подошло бы прилагательное «арифметические». Решения второго вида он называл геометрическими, под чем он понимал, что решение можно построить геометрическими средствами в терминах конкретных длин, площадей или объемов.

Свободно пользуясь коническими сечениями, Омар разработал геометрические решения для всех кубических уравнений и разъяснил их в своей книге «Алгебра», законченной в 1079 году. Поскольку отрицательные числа в то время еще не получили права на существование, уравнения приходилось каждый раз устраивать таким образом, чтобы все слагаемые оказывались положительными.

Это правило привело к возникновению огромного числа различных случаев, которые в наши дни все рассматриваются как по сути дела единственный случай, если не считать знаков при числах. Омар различает четырнадцать различных типов кубических уравнений в зависимости от того, какие слагаемые появляются в каждой части уравнения. Его классификация кубических уравнений такова:

куб = квадрат + сторона + число,

куб = квадрат + число,

куб = сторона + число,

куб = число,

куб + квадрат = сторона + число,

куб + квадрат = число,

куб + сторона = квадрат + число,

куб + сторона = число,

куб + число = квадрат + сторона,

куб + число = квадрат,

куб + число = сторона,

куб + квадрат + сторона = число,

куб + квадрат + число = сторона,

куб + сторона + число = квадрат.

Каждое из указанных слагаемых должно иметь положительный численный коэффициент.

Вы, возможно, недоумеваете, почему в списке нет случаев типа

куб + квадрат = сторона.

Причина в том, что в этих случаях можно разделить обе части уравнения на неизвестное, в результате чего уравнение сведется к квадратному.

Омар изобрел свои решения не полностью самостоятельно, а основываясь на предшествующих греческих методах решения различных типов кубических уравнений с использованием конических сечений. Он систематически развил эти идеи и решил такими методами все четырнадцать типов кубических уравнений. Предшествующие математики, как он заметил, нашли решения в ряде случаев, но все их методы были очень специальными и каждый случай требовал отдельного построения; до Омара никто не изучал весь охват возможных случаев, не говоря уж о том, чтобы дать их решения. «Я же, напротив, никогда не ослабевал в своем желании сделать известными, притом со всей точностью, все возможные случаи и в каждом из них провести различие между возможным и невозможным». Под «невозможным» он понимал отсутствие положительного решения. Чтобы получить представление о его работе, приведем его решение случая «куб, некоторые стороны и некоторые числа равны некоторым квадратам», что мы бы записали как

x 3 + bx + c = ax 2 .

(Поскольку нас не заботит положительность или отрицательность, мы бы, скорее всего, перенесли член из правой части в левую с изменением знака; получив таким образом уравнение x 3 − ax 2 + bx + c = 0.)

Омар снабжает своих читателей инструкциями, состоящими в следующей последовательности шагов. (1) Проводим три отрезка с длинами c/b , √b и a так, чтобы образовался прямой угол. (2) Проводим полуокружность, диаметр которой — горизонтальный отрезок. Продолжаем вертикальные прямые до пересечения с ней. Если жирный вертикальный отрезок имеет длину d , добиваемся, чтобы отрезок жирной горизонтальной прямой имел длину cd/√b . (3) Проводим гиперболу (сплошная линия), асимптоты которой (те специальные прямые, к которым приближается гипербола) — серые прямые, проходящие через только что построенную точку. (4) Находим, где гипербола пересекает полуокружность. Тогда длины двух жирных отрезков, обозначенные как x , дают два (положительных) решения кубического уравнения.

Данное Омаром Хайямом решение кубического уравнения.

Подробности, как всегда, не так важны, как общий стиль. Выполняем ряд эвклидовых построений циркулем и линейкой, потом прибегаем к помощи гиперболы, потом еще немного эвклидовых построений — и готово.

Омар дает аналогичные конструкции для решения каждого из своих четырнадцати случаев и доказывает, что решения верны. В его анализе есть несколько дыр: при некоторых значениях коэффициентов a, b и c требуемые в его построении точки не существуют. В приведенном выше построении, например, гипербола может вообще не пересекать полуокружность. Но если отбросить эти придирки, он выполнил впечатляющую и очень систематическую работу.

Некоторые из образов в поэзии Омара являются математическими и, как представляется, содержат аллюзии на его собственные работы, в тоне возражений самому себе, который проходит через все его творчество:

Одно особенно впечатляющее четверостишие звучит так: