Иэн Стюарт - Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Это напоминает знаменитую платоновскую аллегорию теней на стене пещеры и подходит равным образом для описания и символьных вычислений в алгебре, и человеческой натуры. Омар был талантливым летописцем и того и другого.

«Клянусь святым Евангелием Господа нашего и как истинный человек чести не только никогда не публиковать ваши открытия, если вы мне доверите их, но да будет моя вера истинного христианина вам порукой, что я зашифрую их так, чтобы после моей смерти никто не смог их понять». Этот торжественный обет был, как говорят, дан в 1539 году.

Италия эпохи Возрождения была колыбелью нового, и математика не составляла исключения. В иконоборческом духе того времени математики Ренессанса задались целью преодолеть ограничения древней математики. Один из них разрешил загадку кубического уравнения и теперь обвинял другого в воровстве своего секрета.

Гневающегося математика звали Никколо Фонтана по прозвищу Тарталья — Заика. В воровстве интеллектуальной собственности обвинялся математик, врач, неисправимый плут и закоренелый азартный игрок по имени Джироламо Кардано, также известный как Жером Кардан. Около 1520 года Джироламо, как истинный блудный сын, успешно растратил наследство, оставленное ему отцом. Разорившись, он обратился к азартным играм как к источнику дохода, найдя эффективное примененное своих математических способностей для оценки шансов на выигрыш. Он водился с сомнительной компанией; как-то раз, заподозрив другого игрока в нечестной игре, он полоснул его ножом по лицу.

То были суровые времена, и Джироламо был суровым человеком. А кроме того — на редкость оригинальным мыслителем и автором одного из наиболее знаменитых и влиятельных текстов по алгебре во всей истории.

О Джироламо нам известно много, потому что в 1575 году он сам рассказал нам о себе в «Книге моей жизни». Начинается она так:

Эту Книгу Моей Жизни я намереваюсь написать, следуя примеру Антонина Философа [12] Марка Аврелия, римского императора с 161 по 180 г. (Примеч. перев.) , прославленного как мудрейший и достойнейший из людей, хорошо понимая, что ни одно деяние смертных не совершенно, а еще менее того — свободно от злословия; однако сознавая при этом и то, что из всего, что человеку дано достичь, ничто другое не доставляет больше радости и не ценится сильнее, чем познание истины.

Ни единого слова, спешу заверить, не было добавлено в угоду тщеславию, и ни единого для пустого приукрашивания; вместо того, насколько возможно, здесь собрано только пережитое, события, о которых мои ученики… были осведомлены или в коих они принимали участие. Эти краткие эпизоды моей истории в свою очередь записаны были мною в повествовательной форме, дабы стать частью этой книги.

Как и многие математики того времени, Джироламо занимался астрологией, так что он отмечает астрологические обстоятельства, сопутствовавшие его рождению:

Хотя, как я слышал, напрасно пытались применить различные абортивные средства, я нормально родился в 24-й день сентября года 1500, когда первый час ночи истек уже более чем наполовину, но менее чем на две трети… Марс угрожал обоим главным светилам из-за неблагоприятного их расположения и потому, что он был в четвертном аспекте с Луною…

Я легко мог родиться уродом, если бы не тот факт, что положение предыдущего соединения приходилось на 29° в Деве, где господствует Меркурий. И так как его положение не совпадало ни с местом Луны, ни с местом асцендента и он не находился в аспекте с предпоследним делением Девы, я непременно должен был бы родиться уродом, и даже легко могло случиться, что я выйду из утробы разорванным, чего едва и не произошло.

Так был я рожден, или, скорее, исторгнут мощными силами из чрева матери; я был почти мертв. Волосы мои были темны и завиты. Меня вернули к жизни ванной из теплого вина, которая могла бы оказаться гибельной для любого другого ребенка. Моя мать провела в тяготах три полных дня, и однако же я выжил [13] Не без некоторых потерь: «…и Солнце, и обе зловещие планеты — Венера и Меркурий — находились в человеческих знаках, вследствие чего у меня и не обнаружилось отклонений от человеческого образа; а так как в асценденте был Юпитер и во всем гороскопе господствовала Венера, у меня обнаружились неправильности только в половых органах: случилось так, что в возрасте от 21 до 31 года я оказался не способен к совокуплению с женщинами и часто горько оплакивал свою участь, завидуя судьбе других людей». (Примеч. перев.) .

Одна глава в «Книге моей жизни» перечисляет написанные Джироламо книги, и первой в списке идет «Великое искусство» [14] Лат.: Ars Magna . (Примеч. перев.) — один из трех упоминаемых им «трактатов по математике». Он также писал об астрономии, физике, вопросах морали, драгоценных камнях, воде, медицине, предсказаниях и теологии.

Однако для нашего рассказа важно только «Великое искусство». Подзаголовок этой книги — «Правила алгебры» — объясняет почему. В этой книге Джироламо не только собрал методы решения квадратных уравнений, известные вавилонянам, но и открыл новые решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. В отличие от решений Хайяма, которые опирались на геометрию конических сечений, решения в «Великом искусстве» были чисто алгебраическими.

Я уже упоминал о двух типах математических обозначений, которые оба видны в таких выражениях, как x 3для куба неизвестного. Обозначение первого типа состоит в использовании букв (в нашем случае — x ) для чисел — или неизвестных, или известных, но произвольных. Обозначение второго типа — это использование приподнятых над строкой чисел для указания степени, так что верхняя 3 в данном случае обозначает куб числа x , то есть x×x×x. Теперь мы подошли к обозначениям третьего типа — последним из тех, что нам понадобятся.

Обозначение третьего типа очень милое и выглядит так: √. Этот символ означает квадратный корень. Например, √9 — квадратный корень из девяти — обозначает число, которое, будучи умножено на само себя, дает 9. Поскольку 3×3 = 9, мы видим, что √9 = 3. Однако не всегда все обстоит так просто. Наиболее печально известный квадратный корень, который, согласно не слишком правдоподобной легенде, оказался причиной того, что математика, привлекшего к нему внимание, — Гиппаса из Метапонта — выбросили с корабля за борт, — это квадратный корень из двух: √2. Его точное выражение в виде десятичной дроби требует неограниченного продолжения. Начинается оно так:

1,4142135623730950488…,

но не может на этом прекратиться , поскольку квадрат приведенного числа на самом деле равен

1,99999999999999999999522356663907438144,