Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Кроме того, вблизи границы царил хаос. Две точки могли вначале находиться очень близко друг к другу, какое-то время попрыгать рядышком, а потом разойтись к разным корням. Выбранный корень был так же непредсказуем, как выигрышные числа при игре в рулетку. Мелочи, крошечные, незаметные изменения в начальных условиях могли полностью изменить всю картину.

Работа Хаббарда была одной из первых вылазок в область науки, ныне называемой комплексная динамика , — потрясающее сочетание теории хаоса, комплексного анализа и фрактальной геометрии. В некотором смысле это позволило геометрии вернуться к своим корням. В 600 году до Рождества Христова руководство для строителей храма в Индии [43] Для знакомства с древнеиндийскими методами нахождения квадратного корня см. работу D. W. Henderson and D.Taimina, Experiencing Geometry, 3 rd edition (Pearson Prentice Hall, 2005). Прим. ред.: См. также Чистяков В. Д. Материалы по истории математики в Китае и Индии. М.: Учпедгиз, 1960. , написанное на санскрите, давало подробные инструкции, как при проектировании ритуальных алтарей вычислять квадратные корни. Спустя свыше 2500 лет математики все еще ищут корни, но в настоящее время инструкции пишутся в двоичном коде.

Дядюшка Ирв был братом моего отца и его компаньоном. Они владели обувным магазином в нашем городе. Так вот, он хорошо разбирался в практической стороне вещей и по большей части находился наверху в своем кабинете, потому что лучше управлялся с цифрами, чем с клиентами.

Когда мне было лет десять или одиннадцать лет, дядя Ирв задал мне мою первую арифметическую задачу [45] Большое количество классических арифметических задач находятся на http://MathNEXUS.wwu.edu/Archive/oldie/list.asp. Прим. ред.: В русскоязычном интернете очень много сайтов, которые предлагают арифметические задачи для «решателей» разного возраста — от дошкольников до седых ветеранов. Вот несколько из них: Эрудит. net (http://eruditov.net/publ/math/1); Математические задачи — Логика и рассуждения (http://www.smekalka.pp.ru/math_logic.html); Математические задачи (http://www.prostomac.com/tag/matematicheskie-zadachi/); Математика (http://nazva.net/rubric/11/). . Этот день навсегда врезался мне в память, вероятно, потому, что я ошибся и чувствовал смущение.

В условии задачи говорилось о заполнении ванны водой [46] Более сложная задача с ванной появилась в драме 1941 года How Green Was My Valley («Как зелена моя долина»). Клип к этому фильму можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/swf/valley.html. И пока вы еще там, посмотрите ролик из комедии о бейсболе Little Big League («Маленькая большая лига»), который можно найти по адресу http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/m4v/league.m4v. В этом фильме есть задача о покраске домов: «Если я могу покрасить дом за три часа, а ты — за пять, сколько нам потребуется времени на покраску дома, если мы будем работать вместе?». На экране мы видим, как бейсболисты дают различные глупые ответы. «Все очень просто, пять умножить на три, так что это пятнадцать». «Нет, нет, нет, посмотрите. Это займет восемь часов: пять плюс три, вот и восемь». После еще нескольких промахов один игрок наконец отвечает правильно: 1⅞ часов. . Если включить кран с холодной водой, то ванна наполнится за полчаса, а если с горячей — то за час. Сколько времени потребуется, чтобы заполнить ванну, когда включены оба крана?

Я уверенно, вероятно, как и многие из вас, ответил: «Сорок пять минут». Дядюшка Ирв покачал головой и усмехнулся. И своим высоким гнусавым голосом он преподал мне урок.

«Стивен, — обратился ко мне он, — скажи, сколько воды будет в ванне через минуту». Холодная вода заполняет ванну за 30 минут, так что за одну минуту она заполнит ее часть. Но горячая вода льется медленнее и наполнит ванну через 60 минут, то есть за минуту она заполнит только часть ванны. Поэтому, когда вода льется из обоих кранов, она заполняет + ванны за минуту.

Чтобы сложить эти дроби, обратите внимание, что наименьший общий знаменатель равен 60. Преобразовав в , получаем

Это означает, что вода из двух кранов за минуту заполнила ванны. Следовательно, ванна наполнится через двадцать минут.

С тех пор на протяжении многих лет я неоднократно вспоминал о той ванне, причем всегда с любовью к дядюшке Ирву и самой задаче. Мне преподали урок, как просто ради удовольствия решать задачи, основываясь на интуиции, и как найти приближенное решение, если сложно отыскать точное.

Рассмотрим мое первоначальное предположение — 45 минут — и, решив задачу интуитивно (в соответствии со здравым смыслом), поймем, что этот ответ не может быть правильным. Действительно, он абсурден. Чтобы понять почему, предположим, что горячая вода отключена, тогда холодная вода заполнит ванну за 30 минут. Поэтому какой бы дядюшка Ирв ни задал вопрос, ответ должен быть «меньше 30 минут»; если в ванну льется не только холодная, но и горячая вода, то ванна заполнится быстрее.

Правда, этот вывод не столь убедителен, как ответ «20 минут», который мы получили методом, предложенным дядюшкой Ирвом, зато он не требует никаких расчетов.

Другой способ упростить задачу — предположить, что вода из обоих кранов течет с одинаковой скоростью. Причем ванна при одном открытом кране заполняется за 30 минут. Тогда очевидно, что она наполнится за 15 минут, так как каждый кран выполнит половину работы.

Отсюда сразу становится ясно, что, по расчетам дядюшки Ирва, наполнение ванны должно занимать больше пятнадцати минут. Почему? Потому что «быстрый + быстрый» побьет «медленный + быстрый». Наша условно симметричная задача имеет два быстрых крана, в то время как у дядюшки Ирва один медленный и один быстрый. А поскольку 15 минут — ответ задачи для двух быстрых кранов, то ванна дядюшки Ирва будет наполняться дольше.