Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Этот подход построен на идеях, взятых из линейной алгебры [134] Введение в линейную алгебру и способы ее применения в различных областях науки прекрасно изложены в книге G. Strang, Introduction to Linear Algebra, 4th edition (Wellesley-Cambridge Press, 2009). , изучения векторов и матриц. Если вы хотите выявить закономерности в огромном скоплении данных или выполнить гигантские вычисления с миллионами переменных, линейная алгебра предоставит для этого все необходимые инструменты [135] Некоторые наиболее впечатляющие области применения линейной алгебры описаны в работе D. James, М. Lachance, and J. Remski, Singular vectors’ subtle secrets, College Mathematics Journal, Vol. 42, № 2 (March 2011), рр. 86–95. . С ее помощью был построен фундамент для алгоритма PageRank [136] Согласно Google, термин PageRank происходит от имени Ларри Пейджа, а не от английского слова webpage (веб-страница). См. http://web.archive.org/web/20090424093934/http://www.google.com/press/funfacts.html. , положенного в основу Google. Она также помогает ученым классифицировать человеческие лица [137] Эта идея основана на том, что лицо человека представляет собой комбинацию небольшого числа его основных компонентов. Впервые линейная алгебра была применена для распознавания лиц в работе L. Sirovich and М. Kirby, Low-dimensional procedure for the characterization of human faces, Journal of the Optical Society of America A, Vol. 4 (1987), рр. 519–524 и получила дальнейшую разработку в исследовании М. Turk and A. Pentland, Eigenfaces for recognition, Journal of Cognitive Neuroscience, Vol. 3 (1991), рр. 71–86, доступном на http://cse.seu.edu.cn/people/xgeng/files/under/turk91eigenfaceForRecognition.pdf. Полный список работ, посвященных этой проблеме, см. на главной странице сайта Face Recognition (http://www.face-rec.org/interesting-papers/). , провести анализ голосования в Верховном суде [138] См. L. Sirovich, A pattern analysis of the second Rehnquist U.S. Supreme Court, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 100, № 13 (2003), рр. 7432–7437. Этому исследованию посвящена статья N. Wade, A mathematician crunches the Supreme Court’s numbers, New York Times (June 24, 2003). Следующая работа предназначена для специалистов в области права и написана математиком и профессором права: P. H. Edelman, The dimension of the Supreme Court, Constitutional Commentary, Vol. 20, № 3 (2003), рр. 557–570. , а также выиграть приз Netflix [139] Историю приза компании Netflix, а также интересные подробности о первых претендентах на него читайте в статье C. Thompson, If you liked this, you’re sure to love that — Winning the Netflix prize, New York Times Magazine (November 23, 2008). Победитель был определен в сентябре 2009 года, через три года после начала соревнования, см. S. Lohr, A $1 million research bargain for Netflix, and maybe a model for others, New York Times (September 22, 2009). Применение метода разложения матрицы по собственным значениям для определения приза Netflix описано в работе B. Cipra, Blockbuster algorithm, SIAM News, Vol. 42, № 4 (2009). (вручаемый команде, сумевшей улучшить более чем на 10 % систему Netflix, на основе которой составляются рекомендации для просмотра лучших фильмов).

Чтобы изучить линейную алгебру в действии, рассмотрим, как работает алгоритм PageRank. А чтобы выявить его сущность без лишней суеты, представим игрушечную паутину, состоящую всего из трех страниц, связанных между собой следующим образом:

Стрелки указывают, что страница X содержит ссылку на страницу Y, однако Y не отвечает ей взаимностью. Наоборот, Y ссылается на Z. Тем временем X и Z ссылаются друг на друга, сцепившись между собой цифровыми лапками.

Какие страницы самые важные в этой маленькой паутине? Вы можете подумать, что это невозможно определить из-за недостатка информации об их содержимом. Но такой способ мышления устарел. Беспокойство по поводу контента вылилось в неудобный способ ранжирования страниц. Компьютеры мало понимают в смысловом наполнении, а люди не справляются с тысячами новых страниц, которые каждый день появляются в сети.

Подход, придуманный Ларри Пейджем и Сергеем Брином, аспирантами университета и основателями Google, состоял в том, чтобы позволить страницам самим ранжироваться в определенном порядке, голосуя ссылками. В приведенном выше примере страницы X и Y ссылаются на Z, благодаря чему Z становится единственной страницей с двумя входящими ссылками. Следовательно, она и будет самой популярной страницей в данной среде. Однако если ссылки поступают со страниц сомнительного качества, они станут работать против себя. Популярность сама по себе ничего не значит. Главное — иметь ссылки с хороших страниц.

И здесь мы снова оказывается в замкнутом круге. Страница считается хорошей, если на нее ссылаются хорошие страницы, но кто изначально решает, какие из них хорошие?

Это решает сеть. Вот как все происходит. (Далее я буду пропускать некоторые подробности, изложенные в примечании [140] Для простоты я представлю только базовую версию алгоритма PageRank. Для обработки сетей с некоторыми другими структурными свойствами его необходимо изменить. Предположим, в сети есть страницы, которые ссылаются на другие, но те, в свою очередь, на них не ссылаются. В процессе обновления эти страницы потеряют свой PageRank. Они отдают его другим, и он больше не восполняется. Таким образом, в конце концов они получат значения PageRank, равные нулю, и с этой точки зрения становятся неразличимыми. С другой стороны, существуют сети, где некоторые страницы или группы страниц открыты для накапливания PageRank, но при этом не делают ссылок на другие страницы. Подобные страницы действуют как накопители PageRank. Чтобы избежать подобных результатов, Брин и Пейдж изменили свой алгоритм следующим образом. После каждого этапа в процессе обновления данных все текущие значения PageRank уменьшаются на постоянный коэффициент, так что их сумма будет меньше 1. Затем остатки PageRank равномерно распределяются между всеми узлами в сети, как будто «сыплются с неба». Таким образом, алгоритм завершается действием уравнивания, распределяющим значения PageRank между самыми «бедными» узлами. Более тщательно математика PageRank и интерактивные исследования рассматриваются в работе E. Aghapour, T. P. Chartier, A. N. Langville, and K. E. Pedings, Google PageRank: The mathematics of Google (http://www.whydomath.org/node/google/index.html). Полную информацию, изложенную в доступной форме, вы найдете в книге A. N. Langville and С. D. Meyer, Google’s PageRank and Beyond (Princeton University Press, 2006). .)

Алгоритм Google назначает для каждой страницы дробное число от 0 до 1. Это численное значение называется PageRank и измеряет «важность» страницы по отношению к другим, высчитывая относительное количество времени, которое гипотетический пользователь потратит на ее посещение. Хотя пользователь может выбирать более чем из одной исходящей ссылки, он выбирает ее случайно с равной вероятностью. При таком подходе страницы считаются более авторитетными, если они чаще посещаются.

А поскольку индексы PageRank определяются как пропорции, их сумма по всей сети должна составлять 1. Этот закон сохранения предполагает другой, возможно, более осязаемый способ визуализации PageRank. Представьте его как жидкое вещество, текущее по сети, количество которого уменьшается на плохих страницах и увеличивается на хороших. С помощью алгоритма мы пытаемся определить, как эта жидкость распределяется по интернету на протяжении длительного времени.