Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Обвинение в течение первых десяти дней процесса доказывало, что Симпсон неоднократно проявлял насилие в отношении своей бывшей жены Николь Браун: регулярно избивал, унижал и прилюдно раздевал, говоря окружающим: «Это принадлежит мне». Однако каким образом эти действия относились к процессу об убийстве? Аргументом обвинения было то, что насилие в семье выступало как мотив убийства. По словам одного из обвинителей, «удар — это прелюдия убийства».

Защитник обвиняемого Алан Дершовиц [129] Каким образом Дершовиц пришел к выводу, что среди лиц, избивающих своих партнеров, менее 1 из 2500 убивают их? На странице 104 его книги Reasonable Doubts приведены следующие цифры: в 1992 году в США от 2,5 до 4 миллионов женщин подвергались избиению со стороны мужей, любовников и бывших любовников. В том же году, согласно отчетам ФБР об уровне преступности (http://www.fbi.gov/about-us/cjis/ucr/ucr), 913 женщин были убиты своими мужьями, а еще 519 — своими любовниками или бывшими любовниками. Если разделить общее количество убийств 1432 на 2,5 миллиона избитых женщин, то выйдет 1 убийство на 1746 избиений, а если принимать во внимание верхний порог числа избиений в 4 миллиона, то в результате получим одно убийство на 2793 избиений. Очевидно, что среди этих крайних показателей Дершовиц выбрал значение 2500. Однако остается неясным, какая доля убитых женщин подвергалась при жизни избиениям со стороны этих мужчин. Вероятно, Дершовиц предполагал, что практически всех жертв убийств при жизни избивали, и, скорее всего, сделал вывод, что даже если эти цифры несколько преувеличены, они все равно «бесконечно малы». приводил доводы, что даже если бы голословные утверждения о домашнем насилии оказались правдой, они не относятся к делу и, следовательно, недопустимы. Позднее он написал: «Нам необходимо было доказать, что среди тех, кто избивает своих партнеров, лишь ничтожно малое число, менее 1 из 2500, совершают убийство».

В действительности же обе стороны просили суд рассмотреть вероятность того, что Симпсон убил бывшую жену, принимая во внимание тот факт, что при жизни он ее избивал. Однако специалист в области статистики И. Гуд отметил, что для этого не существует верного доказательства, на которое можно было бы сослаться.

Вопрос на самом деле в следующем: какова вероятность того, что муж убил свою бывшую жену, если до убийства он ее бил и она была кем-то убита? Условная вероятность в таком случае очень далека от схемы 1 на 2500.

Чтобы разобраться почему, представим себе выборку из 100 тысяч избитых женщин. Ссылаясь на предоставленные Дершовицем цифры — 1 из 2500, допустим, что примерно сорок из этих женщин были убиты мужьями в этом году (поскольку 100 000 разделить на 2500 равно 40). Можно также предположить, что еще трое из них убиты кем-либо другим [130] Согласно отчетам ФБР об уровне преступности, 4936 женщин были убиты в 1992 году. Среди них 1432 (около 29 %) убиты мужьями или любовниками. Оставшиеся 3504 пострадали от рук кого-то другого. Следовательно, принимая во внимание, что в США на тот период проживало около 125 миллионов женщин, доля тех, кто стал жертвами убийства со стороны лиц, не являвшихся их партнерами, составила 3504 на 125 миллионов, или 1 убийство на 35 673 женщин в год. Предположим, что эта доля убийств одинакова для всех женщин независимо от того, избивали их при жизни или нет. Тогда делим 100 тысяч избиваемых женщин из нашей гипотетической выборки на 35 673 и в результате получаем 2,8 женщин, то есть столько убито лицами, которые не являлись их партнерами. Округлив 2,8 до 3, получаем оценку, приведенную в данной работе. (эта оценка основана на статистике ФБР, касающейся количества женщин, убитых в 1992 году). Итак, из этих 43 жертв 40 были убиты теми, кто их избивал. Другими словами, в 93 % случаев убийцей являлось лицо, избивавшее женщину.

Не путайте это число с вероятностью того, что это сделал Симпсон. Она зависит от множества других обстоятельств, от разных «за» и «против». Например, от заявления защиты о том, что полиция выдвинула Симпсону ложные обвинения, а также от заявления обвинения, что убийца и Симпсон носили одинаковую обувь, перчатки и имели почти одинаковый код ДНК.

Какова вероятность того, что что-нибудь из перечисленного изменит ваше мнение о вынесенном приговоре? Ноль.

В те далекие времена, когда Google еще не существовало, поиск в сети был безнадежным занятием [131] Введение в поиск в интернете и анализ ссылок см. D. Easley and J. Kleinberg, Networks, Crowds, and Markets (Cambridge University Press, 2010). Популярное изложение истории поиска в сети, рассказ о его основных действующих лицах и компаниях ищите в J. Battelle, The Search (Portfolio Hardcover, 2005). Тем, кто хорошо знаком с линейной алгеброй, будет интересна история развития анализа ссылок в статье S. Robinson, The ongoing search for efficient Web search algorithms, SIAM News, Vol. 37, № 9 (2004). . Сайты, предлагаемые старыми поисковыми машинами, часто не соответствовали запросу, а те, которые содержали нужную информацию, были либо глубоко запрятаны в списке результатов, либо вообще отсутствовали.

Алгоритмы на основе анализа ссылок решили проблему, проникнув в суть парадокса, подобного коанам дзен: в результате поиска в интернете должны были отображаться лучшие страницы. А что же, кузнечик [132] Если вас смутило использованное мной слово «кузнечик», поясню, что этим ласковым именем называют ученика, которому еще предстоит многому научиться у мастера дзен. В телесериале «Кунг-фу» слепой монах По учит мудрости своего ученика Кэйна и на первом уроке называет его кузнечиком. Мастер По. Закрой глаза. Что ты слышишь? Юный Кэйн. Я слышу воду. Я слышу пение птиц. По. Слышишь ли ты, как бьется твое сердце? Кэйн. Нет. Мастер По. Слышишь ли ты кузнечика, что стрекочет у твоих ног? Кэйн. Старик, как тебе удается слышать все это? По. Юноша, как ты умудряешься этого не слышать? , делает страницу лучшей? Когда на нее ссылаются другие не менее хорошие страницы.

Звучит подобно рассуждениям про замкнутый круг. [133] Признание существования проблемы замкнутого круга для ранжирования веб-страниц, а также ее решение с помощью линейной алгебры вылилось в два направления исследований, опубликованных в 1998 году. Одно было проведено моим коллегой по Корнуолльскому университету Джоном Клейнбергом, который впоследствии стал экспертом исследовательского центра IBM Almaden Research Center. Его исследование посвящено алгоритму HITS (альтернативной форме анализа ссылок, появившейся немного раньше, чем алгоритм PageRank от Google), см. J. Kleinberg, Authoritative sources in a hyperlinked environment, Proceedings of the Ninth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (1998). Вторая линия исследований проводилась основателями Google Ларри Пейджем и Сергеем Брином. В основе их алгоритма PageRank лежало количество времени, которое случайный пользователь сети будет проводить на каждой странице. Этот процесс описывается по-иному, но приводит все к той же проблеме замкнутого круга. Обоснования метода PageRank даны в статье S. Brin and L. Page, The anatomy of a large-scale hypertextual Web search engine, Proceedings of the Seventh International World Wide Web Conference (1998), рр. 107–117. Как это часто случается в науке, поразительно похожие предвестники этих идей уже были открыты в других ее областях. С предысторией появления PageRank в библиометрике, психологии и социологии можно ознакомиться в статье М. Franceschet, PageRank: Standing on the shoulders of giants, Communications of the ACM, Vol. 54, № 6 (2011), доступной на http://arxiv.org/abs/1002.2858, а также S. Vigna, Spectral ranking, на http://arxiv.org/abs/0912.0238. Так и есть. Именно поэтому все настолько сложно. Ухватившись за эту идею и превратив ее в преимущество, алгоритм анализа ссылок дает решение поиска в сети в стиле джиу-джитсу.