Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

Прим. ред.: Русскоязычный аналог: Асмус В. Ф. История античной философии. М.: Высшая школа, 1965.

О восхитительно своевольной и остроумной истории числа π можно узнать из книги P. Beckmann, A History of Pi (St. Martin’s Press, 1976).

Кто хочет посмотреть математическое обоснование Архимедова метода исчерпывания, обратитесь к http://personal.bgsu.edu/~carother/pi/Pi3a.html.

Все, кто интересуется героическими вычислениями π до очень высокой степени точности, должны воспользоваться страничкой Ричарда Престона о братьях Чудновских. Эта нежная и удивительно смешная история под названием The mountains of pi («Горы “пи”») появилась в номере еженедельного журнала New Yorker от 2 марта 1992 года; ее можно прочитать в вышедшей позднее книге R. Preston, Panic in Level Four (Random House, 2008).

Учебник, дающий представление об основных методах численного анализа: W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, and B. P. Flannery, Numerical Recipes, 3 rdedition, Cambridge University Press, 2007.

Прим. ред.: Среди огромной литературы по методам численного анализа выделим только одну книгу, которая подойдет и для начинающих математиков: Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

«Перемены, в которые мы можем поверить» (англ. Change We Can Believe In) — лозунг предвыборной кампании Барака Обамы. Прим. перев.

В русском языке слово «исчисление» без соответствующих прилагательных почти не применяется, а с прилагательными это интегральное и дифференциальное исчисление или исчисление бесконечно малых. Вместе с тем в большинстве словарей исчисление определяется как формальный аппарат, система правил оперирования со знаками. В английском языке слово calculus (исчисление) понимается именно в таком расширенном толковании как «система правил…». Если у кого-то из читателей слово «исчисление» (без прилагательных) будет вызывать удивление или неприятие, то его можно мысленно заменять на «математический анализ». В данной главе при упоминании исчисления в основном подразумевается дифференциальное исчисление. Прим. ред.

См. M. Bressoud, The crisis of calculus, Mathematical Association of America (April 2007), доступно на http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_04_07.html.

То есть дифференциальное и интегральное исчисление. Прим. ред.

Для коллекции господина Жоффрея различные задачи вычислительного характера, как классические, так и авторские, см. S. Strogatz, The Calculus of Friendship (Princeton University Press, 2009).

Несколько статей, видео и сайтов приводят подробные сведения о законе Снелла и его вывод из принципа Ферма (который утверждает, что свет идет по пути с минимальным временем движения). См. M. Golomb, Elementary proofs for the equivalence of Fermat’s principle and Snell’s law, American Mathematical Monthly, Vol. 71, № 5 (May 1964), pp. 541–543 и сайт http://en.wikibooks.org/wiki/Optics/Fermat%27s_Principle.

Принцип Ферма был предтечей более общего принципа наименьшего действия. Для его развлекательного и глубоко поучительного обсуждения, в том числе в квантовой механике, см. книгу R. P. Feynman, R. B. Leighton, and M. Sands, The principle of least action, The Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, chapter 19 (Addison-Wesley, 1964), и R. Feynman, QED (Princeton University Press, 1988).

Прим. ред.: Русский перевод последней книги: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Том 2. М.: Мир, 1965.

Здесь речь идет об удивительном предположении Фейнмана о том, что природа на самом деле пробует все возможные пути. Однако почти все они компенсируют друг друга через квантовый аналог разрушительных помех, за исключением тех, которые очень близки к классическому пути, где действия сведены к минимуму (или, точнее, к стационарным значениям). Тогда квантовая интерференция становится конструктивной, и, скорее всего, будет выбран именно этот путь. Поэтому, по оценке Фейнмана, природа подчиняется принципу минимума. Важно то, что мы живем в макроскопическом мире повседневного опыта, где массы и взаимодействия колоссальны по сравнению с постоянной Планка. При таком классическом ограничении квантовая деструктивная интерференция становится чрезвычайно сильной и уничтожает почти все, что могло бы случиться.

Хоть ломтиками, хоть кубиками (It Slices, It Dices) — это выражение было слоганом рекламной кампании на телевидении одного из первых (если не первого) кухонных комбайнов торговой марки Veg-O-Matic, выпущенного в 1961 году. Комбайн мог измельчать продукты в виде ломтиков и кубиков. Позже это выражение вошло в обиход в значении «быть многофункциональным». Прим. перев.

Более подробную информацию о том, как интегральное исчисление помогает ученым, борющимся с раком, см. D. Mackenzie, Mathematical modeling of cancer, SIAM News, Vol. 37 (January/February 2004), и H. P. Greenspan, Models for the growth of a solid tumor by diffusion, Studies in Applied Mathematics (December 1972), pp. 317–340.

В математической литературе два одинаковых круглых цилиндра, оси которых пересекаются под прямым углом, называются по-разному: тело Штейнмеца, или бицилиндр. Для подготовленного читателя см. http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html и http://en.wikipedia.org/wiki/Steinmetz_solid. На страничке «Википедии» тоже есть очень полезная компьютерная анимация, которая показывает, как из пересекающихся цилиндров появляется призрачное тело Штейнмеца. Его объем современными методами можно рассчитать прямолинейно, но не прозрачно.

Архимед и Цзу Чунчжи знали более простое решение с использованием метода нарезки на кусочки и сравнения площадей квадрата и круга. Удивительно ясное изложение представлено в Martin Gardner’s column Mathematical games: Some puzzles based on checkerboards, Scientific American, Vol. 207 (November 1962), p. 164. Об Архимеде и Цу Чунчжи см. Archimedes, The Method, English translation by T. L. Heath (1912), reprinted by Dover (1953); и T. Kiang, An old Chinese way of finding the volume of a sphere, Mathematical Gazette, Vol. 56 (May 1972), pp. 88–91.

Мортон Мур отмечает, что бицилиндр также нашел применение в архитектуре: «Римляне и норманны при возведении цилиндрических сводов зданий были знакомы с геометрией пересекающихся цилиндров, где при пересечении двух таких сводов формировался крестообразный свод». Об этом и применении бицилиндров в кристаллографии см. M. Moore, Symmetrical intersections of right circular cylinders, Mathematical Gazette, Vol. 58 (October 1974), pp. 181–185.

Интерактивная демонстрация бицилиндров и других задач интегрального счисления доступна онлайн на The Wolfram Demonstrations Project (http://demonstrations.wolfram.com/). Чтобы с ними поиграть, нужно загрузить бесплатный интерактивный Mathematica Player (http://www.wolfram.com/products/player/), который в дальнейшем позволит вам исследовать сотни других интерактивных примеров из всех разделов математики. Наглядную демонстрацию бицилиндра см. на The bicylinder demo по адресу http://demonstrations.wolfram.com/IntersectingCylinders/.

Мамикон Мнацаканян на сайте Калифорнийского технологического института (Caltech) представил серию анимаций, иллюстрирующих Архимедов метод разбиения на кусочки и его мощь. Моя любимая страничка: http://www.its.caltech.edu/~mamikon/.