Стивен Строгац - Удовольствие от Х.Увлекательная экскурсия в мир математики от одного из лучших преподавателей в мир

С другой стороны, существуют сети, где некоторые страницы или группы страниц открыты для накапливания PageRank, но при этом не делают ссылок на другие страницы. Подобные страницы действуют как накопители PageRank.

Чтобы избежать подобных результатов, Брин и Пейдж изменили свой алгоритм следующим образом. После каждого этапа в процессе обновления данных все текущие значения PageRank уменьшаются на постоянный коэффициент, так что их сумма будет меньше 1. Затем остатки PageRank равномерно распределяются между всеми узлами в сети, как будто «сыплются с неба». Таким образом, алгоритм завершается действием уравнивания, распределяющим значения PageRank между самыми «бедными» узлами.

Более тщательно математика PageRank и интерактивные исследования рассматриваются в работе E. Aghapour, T. P. Chartier, A. N. Langville, and K. E. Pedings, Google PageRank: The mathematics of Google (http://www.whydomath.org/node/google/index.html). Полную информацию, изложенную в доступной форме, вы найдете в книге A. N. Langville and С. D. Meyer, Google’s PageRank and Beyond (Princeton University Press, 2006).

Гарри Нилссон написал песню One, получившую известность под названием Three Dog Night. Она стала хитом, заняв пятое место в горячей сотне хитов Billboard Hot 100, а Эйми Манн создала ее великолепную версию для фильма «Магнолия».

См. P. Giordano, The Solitude of Prime Numbers (Pamela Dorman Books/Viking Penguin, 2010).

Сложно сказать, с чего начать, чтобы поближе познакомиться с теорией чисел, и особенно с загадками простых чисел. Вы можете выбрать одну из следующих трех замечательных книг. Все они выпущены примерно в одно и то же время и все обращаются к гипотезе Римана, которая рассматривается как самая большая нерешенная задача в математике. Чтобы глубже познакомиться с математическими подробностями и историей гипотезы Римана, я рекомендую книгу J. Derbyshire, Prime Obsession (Joseph Henry Press, 2003). В книгах D. Rockmore, Stalking the Riemann Hypothesis (Pantheon, 2005) и M. du Sautoy, The Music of the Primes (Harper Collins, 2003) больше внимания уделяется последующему развитию этой темы, однако они тоже написаны в очень доступной форме.

Прим. ред.: По теории чисел существует такая обширная литература, что трудно остановиться на чем-то одном. Вот несколько «классических» введений в эту теорию: Боревич З. И., Шафаревич И. Р… Теория чисел. М.: Наука, 1972; Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гостехиздат, 1952; Хинчин А. Я. Три жемчужины теории чисел. М.: Наука, 1979. Литература по простым числам: Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант. 1987. № 4; Генри С. Уоррен. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов. М.: «Вильямс», 2007; Матиясевич Ю. Формулы для простых чисел // Квант. 1975. № 5; Карпушина Н. Палиндромы и «перевертыши» среди простых чисел // Наука и жизнь. 2010. № 5. О гипотезе Римана и ее связи с простыми числами см. интересную статью Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. 2005. Рекомендуем также интересный и познавательный сайт «Числонавтика», посвященный теории чисел (и не только) по адресу http://www.numbernautics.ru/.

Дж. Дербишир. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. М.: Астрель, 2010.

Использование теории чисел в криптографии описано в работе M. Gardner, Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (Mathematical Association of America, 1997), главы 13 и 14. В первой из этих глав приводится знаменитая статья Гарднера, опубликованная в августе 1977 года в журнале Scientific American, где он рассказывает о создании криптографической системы RSA, взломать которую практически невозможно. В главе 2 описывается «ужас», который вызвало это открытие в Национальном агентстве безопасности. О последних исследованиях в этой области говорится в главе 10 книги du Sautoy, The Music of the Primes.

Прим. ред.: Литература по криптографии: Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. СПб: Питер, 2014. Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии. М.: МЦНМО, 2003; Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. М.: МЦНМО, 2002; Крэндалл Р., Померанс К. Простые числа. Криптографические и вычислительные аспекты. М.: УРСС, Либроком, 2011.

Помимо указанных выше книг Дербишира, Рокмора и Дю Сотоя, в интернете можно найти множество источников о теореме простых чисел, например страницу Chris K. Caldwell How many primes are there? (http://primes.utm.edu/howmany.shtml), страницу MathWorld Prime number theorem (http://mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html) и страницу «Википедии» Prime number theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem).

История о том, как Гаусс в возрасте пятнадцати лет доказал теорему о простых числах, рассказана в книге Derbyshire, Prime Obsession, а также в работе L. J. Goldstein, A history of the prime number theorem, American Mathematical Monthly, Vol. 80, № 6 (1973), рр. 599–615. Гауссу удалось не столько доказать теорему, сколько угадать ее благодаря наблюдениям за таблицами простых чисел, которые он вычислил вручную для собственного развлечения. Первое доказательство теоремы было опубликовано Жаком Адамаром и Шарлем де ля Валле Пуссеном в 1896 году, примерно век спустя, причем каждый из них работал над ней независимо.

Как могут существовать простые числа-близнецы при большом N , если рассматривать их в свете теории простых чисел? Согласно теореме, ln N — это всего лишь средний промежуток. Однако он может колебаться, а поскольку существует бесконечное множество простых чисел, некоторым из них удается преодолеть ограничение и создать счастливую пару. Другими словами, даже если большинство простых чисел не обнаружат другие простые числа среди своих соседей намного ближе, чем на расстоянии ln N , все же некоторым это удастся.

Для тех, кто желает узнать, как математика управляет «очень маленькими промежутками между простыми числами», эта тема красиво и четко изложена в статье Эндрю Гранвиля, посвященной аналитической теории чисел, см. T. Gowers, The Princeton Companion to Mathematics (Princeton University Press, 2008), рр. 332–348.

В интернете также есть прекрасная статья Терри Тао, которая позволяет проникнуть в мир простых чисел-близнецов. В частности, в ней рассказывается, как они распределяются, а также дается ответ на вопрос, почему математики считают, что их существует бесконечное множество. Затем приводится подробное доказательство его знаменитой теоремы (совместно с Беном Грином) о том, что простые числа могут образовывать арифметические прогрессии произвольной длины. См. T. Tao, Structure and randomness in the prime numbers, http://terrytao.wordpress.com/2008/01/07/ams-lecture-structure-and-randomness-in-the-prime-numbers/.

Подробнее о простых числах-близнецах см. http://en.wikipedia.org/wiki/Twin_prime, http://mathworld.wolfram.com/TwinPrimeConjecture.html.

Здесь я привожу свои соображения и не пытаюсь дать окончательный ответ на вопрос о расстоянии между двумя последовательными парами простых чисел-близнецов. Возможно, где-нибудь очень далеко на числовой прямой существуют две пары простых чисел-близнецов, которые находятся очень близко друг к другу. Введение в эти вопросы см. I. Peterson, Prime twins (June 4, 2001), http://www.maa.org/mathland/mathtrek_6_4_01.html.