Роза Мария Рос - Мир математики. т.30. Музыка сфер. Астрономия и математика

Эти солнечные часы, несомненно, изготовить проще всего, однако они обладают любопытной особенностью: весной и летом они указывают время в верхней части плоскости, осенью и зимой — в нижней части плоскости. Следовательно, циферблат нужно разметить с двух сторон, как показано на рисунке. Это самые простые, но не самые популярные часы: чаще всего циферблат солнечных часов располагается горизонтально или вертикально. Горизонтальные и вертикальные часы можно изготовить на основе экваториальных, построив простую проекцию и применив основные тригонометрические функции.

Три разновидности солнечных часов: экваториальные, горизонтальные и вертикальные. На иллюстрации изображены солнечные часы для Северного полушария. Чтобы использовать эти часы в Южном полушарии, нужно поменять стороны света местами.

Вверху — вертикальные солнечные часы, внизу — горизонтальные солнечные часы, изготовленные из бронзы.

Горизонтальные солнечные часы

Плоскость этих часов расположена строго горизонтально. Гномон образует с линией север — юг угол, равный широте точки, в которой установлены часы, и направлен в сторону полюса мира. Прямая север — юг будет указывать 12 часов. Расположение остальных линий на циферблате определяется по следующему выражению

где α — угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией,

Н= 15°, 30°, 43°…, соответственно, согласно следующей иллюстрации.

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на горизонтальную плоскость, получим линии циферблата новых часов. Нужно всего лишь учесть, что tg α= СА/АО, tg H= СА/АВ, sin ф= АВ/АО, откуда следует, что tg α= tg H sin ф. При Н= 15° а будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н= 30° угол а укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

Вертикальные солнечные часы

Чаще всего используются солнечные часы, укрепленные на стенах домов, то есть вертикальные. Если стена направлена вдоль линии запад — восток, изготовить такие часы не сложнее, чем горизонтальные, нужно всего лишь учесть, что угол наклона гномона относительно стены будет равен дополнительному углу к широте места. Часовые линии также определяются как проекции часовых линий экваториальных солнечных часов на вертикальную плоскость, направленную вдоль линии запад — восток», и по выражениям

где β— угол между линией, указывающей 12 часов, и искомой часовой линией,

Н= 15°, 30°, 45°…, соответственно, согласно следующей иллюстрации:

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на вертикальную плоскость, направленную вдоль линии запад — восток, получим линии циферблата новых часов. Нужно всего лишь учесть, что tg β= СА/АО, tg H= СА/АВ, sin (90° — ф)= АВ/АО, откуда следует, что tg β= tg Н соs ф. При Н= 15° βбудет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н= 30° угол βукажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

Однако стены большинства домов не направлены вдоль линии запад — восток, а образуют с этой линией некоторый угол, который можно точно измерить. В этом случае разметка циферблата заметно усложняется. Необходимые для этого тригонометрические расчеты приведены в приложении.

Солнечные часы иногда используют в качестве календаря, и тогда они указывают не только час, но и примерный день месяца. Это возможно благодаря тому, что Солнце в разные дни расположено на разной высоте над горизонтом и летом оно находится намного выше, чем зимой. Мы можем определить месяц года по зодиакальным линиям, которые представляют собой конические сечения. Но прежде чем рассказать, как эти сечения строятся, вкратце рассмотрим, как Солнце движется по орбите в течение года.

Почему меняются времена года

Земля движется вокруг Солнца в так называемой плоскости эклиптики. Ось вращения Земли наклонена на 23,5° относительно перпендикуляра к этой плоскости. Именно наклон оси вращения Земли является причиной смены времен года, так как в разное время года Солнце при наблюдении с Земли находится на разной высоте над горизонтом. Экватор образует с плоскостью эклиптики угол, равный ±23,5°.

На рисунке показано, что в день летнего солнцестояния в Северном полушарии высота Солнца над экватором равна 23,3° относительно эклиптики. Этот же день будет днем зимнего солнцестояния в Южном полушарии. И напротив, в день зимнего солнцестояния в Северном полушарии Солнце находится ниже всего над горизонтом — его склонение относительно экватора равно —23,5°. Этот же день будет днем летнего солнцестояния в Южном полушарии. В день осеннего и весеннего равноденствия склонение Солнца относительно экватора будет равно 0°.

Таким образом, экватор образует с плоскостью эклиптики угол в ±23,5°. Именно наличие этого угла является причиной смены времен года.

* * *

СХЕМА КАРМАННЫХ СОЛНЕЧНЫХ ЧАСОВ

Линии циферблата горизонтальных или вертикальных солнечных часов строятся как проекции соответствующих часовых линий экваториальных часов. При построении нужно всего лишь учесть широту точки, в которой находятся часы. Далее мы рассмотрим описанную выше проекцию графически и попробуем сконструировать карманные солнечные часы, объединяющие горизонтальный и вертикальный тип циферблата. Вначале определим размеры часов. Построим окружность радиуса z и отметим на ней линии, которые будут указывать часы (от 6 до 18), отстоящие друг от друга на 15°. Размеры горизонтальных и вертикальных часов можно определить, взглянув на рисунок на стр. 105. Для этого достаточно рассмотреть прямоугольные треугольники, определяемые осью вращения Земли и плоскостью экватора, а также использовать определение синуса и косинуса для угла, указывающего широту. Так, длина часовой линии, указывающей 12 часов на горизонтальных часах, будет равна z/sin ф. Длина часовой линии, указывающей 12 часов на вертикальных часах, будет равна z/cos ф. Сначала разметим циферблат горизонтальных часов. Отметим на часовой линии, указывающей 12 часов, отрезок длиной z/sin ф, который укажет размеры циферблата горизонтальных часов. Так как линии, указывающие часы, должны быть одинаковы, продолжим линии циферблата горизонтальных часов и определим точки их пересечения с линией, перпендикулярной линии север — юг (линии 12 часов).