Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

«Слово «нелинейный» можно было встретить лишь в конце учебника. Студенты-физики проходили курс математики, и нелинейным уравнениям посвящалась последняя лекция. Многие пропускали эту тему, а остальные узнавали только методы, позволяющие сводить нелинейные уравнения к линейным и находить их приближенные решения. Мы теряли веру в свои силы: у нас не было ни малейшего представления о том, как сильно нелинейность изменяет модель. Мы не знали, что решения нелинейных уравнений могут казаться совершенно случайными. И если мы наблюдали нечто похожее, то задавались вопросом: "Откуда взялось это случайное движение? В уравнениях его не видно"».

Помимо Пуанкаре и новых исследователей теории хаоса, были и другие математики и физики, которые в те времена (мы говорим о последних годах XIX — начале XX века) изучали труды французского математика о задаче трех тел скорее в порядке исключения. Эти исследователи хаоса услышали призыв Пуанкаре заняться решением нелинейных задач и совершили ряд открытий в смежных областях.

Одним из этих ученых был Жак Адамар. Хотя различные примеры хаотических систем были известны давно, он в 1898 году первым математически доказал, что в некоторых динамических системах небольшое изменение начальных условий вызывает значительные изменения в последующем развитии системы (мы называем это явление эффектом бабочки). Французский математик изучил особую разновидность бильярда, в которой стол имел форму седловой поверхности, а траектории шаров были крайне неустойчивыми: два шара, расположенные рядом, после удара, приводившего их в движение, удалялись очень далеко друг от друга (по экспоненциальному закону). Адамар доказал, что для этой и аналогичных систем справедлива теорема о чувствительности к начальным условиям.

* * *

ВИВА, ЛАС ВЕГАС!

Два студента-физика, Дойн Фармери Норман Паккард, в конце 1970-х основали небольшую группу под названием «Эвдемонисты». Их целью было найти способ выиграть в рулетку и направить вырученные средства на поддержку научного сообщества. Изучив купленную рулетку, члены группы сформулировали уравнение, включавшее период вращения рулетки и период вращения шарика на ней. Так как решить полученное уравнение было крайне сложно, студенты решили сконструировать микрокомпьютер, который бы предсказывал, в какой из восьми секторов упадет шарик. Компьютер помещался в каблуке туфли. Информация о том, на какой сектор следует ставить, передавалась с помощью сигнала от трех вибрирующих соленоидов, закрепленных на груди, под одеждой.

В 1978 году группа отправилась в Лас-Вегас, намереваясь обыграть казино. Наблюдатель вводил данные в компьютер, а девушка, которая делала ставку, получала указания от соленоидов, спрятанных под юбкой. Средний выигрыш составил 44 % от общей суммы ставок. Однако не обошлось без неожиданностей. Как-то раз изоляция повредилась, девушка получила сильные ожоги, но стоически продолжала игру. В итоге общий выигрыш группы составил почти 10000 долларов. Заветная цель была достигнута: с помощью методов статистики ученым удалось предсказать, в какую часть колеса рулетки будет падать шарик.

Но будьте внимательны: найденный алгоритм совсем не прост, и его нельзя применить к любой рулетке. В идеальных условиях, когда шарик представляет собой идеальную сферу, а колесо рулетки — идеальную окружность, предсказать результат было бы невозможно. «Эвдемонисты» смогли спрогнозировать, в какую часть колеса рулетки упадет шарик, только потому, что они внимательно изучили дефекты конкретной рулетки. Достоверность прогноза в краткосрочном периоде достигалась за счет несовершенства самой рулетки и шарика.

Компьютер «эвдемон истов», спрятанный в туфле.

* * *

Намного позже, в 1970-е, советский математик Яков Синай(род. 1935) вновь изучил результаты, полученные Адамаром, и рассмотрел уже не криволинейный бильярдный стол, а движение шаров на плоском квадратном столе, где располагались различные препятствия в форме дисков. Он доказал, что этот бильярд обладает теми же свойствами, что и бильярд Адамара, так как дискообразные препятствия приводят к хаотическому распределению шаров.

Хаотическая траектория бильярдного шара на бильярде Синая.

Еще один важный результат получил однокурсник Жака Адамара — французский физик Пьер Дюгем(1861–1916) . Он был убежденным католиком и ставил религиозную философию выше научной, с чем убежденный рационалист Пуанкаре не мог согласиться. Дюгем обратился к важным философским последствиям результатов, полученных им и Пуанкаре, и смог разглядеть их революционный характер.

В главе «Пример математического вывода, никогда не применимого» своего труда «Физическая теория. Ее цель и строение» (1906) Дюгем замечает, что долгосрочное прогнозирование траектории шаров в бильярде Адамара не имеет смысла, поскольку любая, даже самая малая неточность при измерении начального положения и скорости шара приведет к ошибочному прогнозу. Прогнозная траектория не будет иметь ничего общего с реальной. Процитируем книгу Дюгема:

«Очень хороший пример такого вывода, всегда бесполезного, представляют изыскания Адамара. Мы заимствуем его из наиболее простых проблем, составляющих предмет исследования наименее сложной из физических теорий, а именно механики. Материальная масса скользит вдоль некоторой поверхности. На нее не действует никакая тяжесть, никакая сила; нет также никакого трения, которое изменяло бы ее движение. Если наша материальная точка движется по какой-нибудь произвольной поверхности, то она описывает линию, которую наши математики называют геодезической линией данной поверхности. Исследования Адамара касались специально геодезических линий многократно пересекающихся плоскостей противоположной кривизны. Если дано первоначальное положение нашей материальной точки и направление ее первоначальной скорости, геодезическая линия, которая должна быть описана, вполне определена. Другое дело, когда начальные условия даны не математически, а практически. Пусть начальное положение нашей материальной точки есть не определенная точка на поверхности, а какая-то точка внутри небольшого пятна. Пусть направление начальной скорости не есть вполне определенная прямая линия, а одна какая-то из прямых линий, образующих пучок, сечение которого есть небольшое пятно. Несмотря на тесные границы, в которых сжаты геометрические данные, соответствующие нашим практическим данным, можно эти геометрические данные всегда выбрать таким образом, чтобы геодезическая линия удалилась от геодезической линии, выбранной заранее. Можно произвольно увеличить точность, с которой определены практические данные, можно уменьшить пятно, в котором находится первоначальное положение материальной точки, можно сжать пучок, в котором находится направление начальной скорости, но все же никогда не удастся геодезическую линию, остающуюся на конечном расстоянии, выделить из пучка ее неверных подруг, которые удаляются на бесконечность. Если начальные данные не определены математически, а при помощи физических методов, как бы они ни были точны, поставленный вопрос остается без ответа и всегда останется таковым».