Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

В работах Джорджа Дэвида Биркхофа(1884–1944) влияние работ Пуанкаре прослеживается при рассмотрении качественных характеристик дифференциальных уравнений. В своей книге «Динамические системы» (1927), где впервые упоминается термин «динамическая система», этот американский математик описывает теорию динамических систем и заходит дальше, чем Пуанкаре, в анализе кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Иными словами, Биркхоф использовал наследие Пуанкаре и развил его идеи в новых направлениях.

Говоря об американской математической школе, нельзя обойти вниманием фигуру Стивена Смэйла(род. 1930) , удостоенного в 1966 году Филдсовской премии за вклад в теорию динамических систем. Смэйл находился под влиянием сразу трех наиболее важных традиций изучения динамических систем и хаоса, а именно: забытой традиции, начатой Пуанкаре, к которой принадлежал Биркхоф; русской математической школы, объединившейся с английской усилиями Соломона Лефшеца во время холодной войны, и, наконец, традиции аналитико-топологического изучения дифференциальных уравнений, начатой Мэри Люси Картрайт(1900–1998) и Джоном Идензором Литлвудом(1883–1977) в Великобритании на основе трудов Ван дер Поля.

Бальтазар Ван дер Поль(1889–1959) был голландским инженером-электронщиком, который в «золотые двадцатые» обнаружил предельный цикл (об этом понятии мы уже говорили в первой главе) в нелинейном дифференциальном уравнении, которое описывало поведение электронных ламп, имевших огромное значение в сфере телекоммуникаций. Это уравнение имело траекторию-решение в форме замкнутой кривой, которая притягивала к себе все ближайшие траектории. В 1945 году, когда союзники вовсю работали над созданием радара, Картрайт и Литлвуд доказали, что в окрестностях этого предельного цикла наблюдалось сложное непериодическое движение — это был хаос!

Несколько позже, в 1950-е, специалист по топологии Стивен Смэйл продолжил качественный анализ динамических систем в поисках теоремы, аналогичной теореме Пуанкаре — Бендиксона, для трехмерного пространства, однако его работы не увенчались успехом. Подобная теорема не сформулирована до сих пор, так как траектории в пространстве могут переплетаться, что крайне усложняет динамику. Существуют трехмерные динамические системы, в которых, помимо центров, фокусов, узлов, седел и предельных циклов, наблюдаются странные аттракторы.

К несчастью для Смэйла, хаос существовал.

Странный аттрактор Рёсслера(1976). Подобно ленте Мёбиуса, он имеет только одну сторону, хотя кажется, что у него две стороны: достаточно проследовать вдоль внешней границы, чтобы увидеть, как она постепенно переходит во внутреннюю.

Изначально Смэйл считал, что почти все (или все) трехмерные динамические системы обладают не слишком странным поведением — почти таким же, как и двухмерные динамические системы на плоскости, все возможные аттракторы которых принадлежали конечному множеству фокусов и предельных циклов. Интерес Смэйла к аттракторам был вызван тем, что они описывали поведение динамической системы в долгосрочном периоде. Эти точки указывали, какими будут системы в далеком будущем, поскольку они испытывают фатальное притяжение к аттракторам, расположенным бесконечно далеко. Смэйл полагал, что единственными видами движения, корректными в долгосрочном периоде, были либо пребывание в состоянии покоя, либо равновесие в стационарном состоянии (в фокусе), либо периодическое повторение некой последовательности движений. Иными словами, система могла либо оставаться неподвижной, либо снова и снова совершать определенные движения. В долгосрочном периоде траекториями системы были точки либо окружности.

Каким же было удивление ученого, когда он, отдыхая на пляжах Рио-де-Жанейро, получил письмо с контрпримером к своей гипотезе. Норман Левинсон, коллега Смэйла из Массачусетского технологического института (MIT), описал динамическую систему, порождавшую нелинейный осциллятор Ван дер Поля, изученный Картрайт и Литлвудом. Эта система имела бесконечное множество периодических орбит и, что еще хуже, в долгосрочном периоде демонстрировала в высшей степени странное поведение: в теории была возможна ситуация, при которой система в будущем не будет оставаться неподвижной и не будет совершать определенные движения снова и снова, а продолжит двигаться совершенно беспорядочным образом. Рассмотрев аналитические работы Левинсона с геометрической точки зрения, Смэйл в 1959 году описал соленоид Смэйла (названный так за внешнее сходство с соленоидом — электромагнитом, состоящим из металлического сердечника, на который намотана проволока), а затем, уже в 1960-е — подкову Смэйла, обладающую крайне сложной динамикой, схожей с той, что демонстрирует система, описанная Левинсоном. Это были два в высшей степени странных аттрактора.

Соленоид Смэйла, представляющий собой тор, трижды обмотанный вокруг другого тора в четырехмерном пространстве.

Описание соленоида Смэйла, и в особенности подковы Смэйла, стало важным шагом на пути к пониманию связи между существованием гомоклинической орбиты и непериодическим и неустойчивым поведением, которое позднее стало называться детерминированным хаосом. С мэйл доказал, что существование гомоклинических точек подразумевает существование подковы — фигуры, служащей воплощением топологических операций растяжения и складывания, которые, как мы объясним в третьей главе, порождают хаос.

Возьмем на себя смелость рассмотреть хаос подробнее. До сих пор мы пытались приблизиться к хаосу с помощью интуитивно понятных примеров, однако понять, что же происходит на самом деле, совсем не просто. В научно-популярных книгах и даже в учебниках объяснения начинаются с числовых примеров, и только потом автор приводит примеры из геометрии и топологии.

Мы же решили действовать противоположным образом: во-первых, именно так исторически изучался хаос, во-вторых, так читатель сможет лучше понять, как и математики постепенно понимали, что такое хаос, — сначала с качественной, а затем с количественной точки зрения. У вас кружится голова от непонятных слов? Не беспокойтесь, математики прошлого чувствовали себя точно так же.

И соленоид, и подкова Смэйла — это примеры отображений, геометрических преобразований, в которых проявляется хаос. Преобразование, порождающее подкову Смэйла (обозначим его через f ), очень простое. Чтобы выполнить его, рассмотрим квадрат или любую другую фигуру похожей формы. Сначала расположим квадрат на плоскости, растянем его, затем сложим пополам в форме подковы и уложим в границы, определенные краями исходной фигуры. Если мы будем повторять преобразование f снова и снова бесконечное число раз, то получим сложную и запутанную многослойную структуру, и возникнет хаос. На первой итерации исходный квадрат превратится в подкову в форме буквы U , как показано на следующем рисунке. На второй итерации подкова превратится в другую подкову, состоящую из трех кривых в форме буквы U . На третьей итерации мы получим уже семь кривых той же формы, и так далее. В пределе имеем бесконечно запутанную кривую, очень похожую на гомоклиническую сеть, которая приводила в ужас Пуанкаре. И действительно, в растяжении и складывании заключен геометрический смысл хаоса.