Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Пьер Франсуа Ферхюльст.

* * *

СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ И ФРАКТАЛЫ

Большинство странных аттракторов в хаотических системах представляют собой фрактальные множества. Именно фрактальная геометрия, созданная Бенуа Мандельбротом(1924–2010) в 1977 году на основе передовых трудов Пьера Фату и Гастона Жюлиа, опубликованных в 1918 году, считается геометрией природы. Форму фракталов имеет множество природных объектов (морские побережья, листья растений, раковины моллюсков, легкие и другие органы человека, галактики, созвездия и даже кольца Сатурна, сегменты которых напоминают фрактальные множества Кантора), так как самоподобие — основное свойство сложных систем.

* * *

Несмотря на вышесказанное, объективная и не лишенная скепсиса характеристика, приведенная Давидом Рюэлем в книге «Случайность и хаос», полностью корректна:

«Математическая теория дифференцируемых динамических систем выиграла от притока «хаотических» идей и в целом не пострадала от современной тенденции (техническая сложность математики препятствует мошенничеству). Однако физика хаоса, несмотря на частые триумфальные объявления о «новых» прорывах, в настоящее время практически не дает интересных открытий.

Мы не будем излагать искаженное видение хаоса, характерное для некоторых постмодернистов и других мыслителей. Критики утверждают, что высокая популярность теории хаоса и фрактальной геометрии не соответствует их реальной научной ценности. Теория хаоса применяется даже при анализе художественных произведений и в управлении предприятиями.

Нельзя отрицать, что хаос открыл новый путь в науке. Эту новую науку, объединяющую множество дисциплин, математики называют теорией хаоса, или теорией динамических систем, физики — нелинейной динамикой, все остальные — нелинейной наукой. Это наука об эффекте бабочки, о чувствительности к начальным условиям, о случайных, беспорядочных и неправильных траекториях, о непериодическом и нестабильном поведении, о гомоклинических орбитах, о растяжении и складывании траекторий, о странных аттракторах и многом, многом другом. Войдем же в дверь, которую открыла перед нами теория хаоса.

* * *

ХАОС НА ЗЕМЛЕ И НА НЕБЕ

Если Роберт Мэй представил парадигму дискретной хаотической динамической системы в одном измерении (логистическое отображение), то французский астроном Мишель Эно предложил парадигму дискретной хаотической динамической системы в двух измерениях — так называемое отображение Эно. В 1976 году, спустя несколько лет после того, как свет увидела работа Лоренца с описанием модели непрерывной хаотической динамической системы, Эно опубликовал статью «Двухмерное отображение со странным аттрактором», в которой представил преобразование плоскости, определяемое формулой

где аи b— две постоянные, которые обычно принимаются как а = 1,4 и b = 0,3. Это отображение Нпредставляет собой упрощенную версию сечения Пуанкаре для аттрактора Лоренца.

Если мы применим Ннесколько раз подряд к квадрату, то увидим, как он будет менять форму: сначала он будет превращаться во все более вытянутый четырехугольник, затем — в бесконечно запутанную подкову. Эта бесконечно запутанная структура (фрактал), к которой приближаются последовательные итерации Н, и будет странным аттрактором Эно.

Хотя Эно утверждал, что описал странный аттрактор (то есть аттрактор, имеющий фрактальную природу), правильность его выводов подтвердили шведские математики Майкл Бенедикс и Леннарт Карлесон лишь в 1991 году.

Аттрактор Эноимеет фрактальную структуру, то есть обладает самоподобием (он повторяется в различных масштабах снова и снова).

Бог и Дьявол сошлись в одном: способность человека предсказывать будущее безнадежно ограничена. Теория относительности Эйнштейна избавила ученых от иллюзий об относительном пространстве и времени, описанных в классической физике Ньютона, квантовая теория Бора, Планка и Гейзенберга, в свою очередь, покончила с мечтами о точных измерениях, а теория хаоса в одночасье уничтожила фантазии о возможностях предсказания будущего.

Самым важным ударом по традиционной мысли стало понимание того, что предсказать поведение многих систем на больших интервалах времени в принципе невозможно, так как решения уравнений, описывающих движение этих систем, крайне неустойчивы. Сложное поведение подобных систем вызвано не внешним воздействием, не обилием степеней свободы и не квантовыми эффектами. Уравнения, описывающие движение системы, детерминированы, однако их решения обладают стохастическими свойствами. Это явление называется детерминированным хаосом.

Попытаемся объяснить детерминированный хаос с точки зрения математики, ведь, как говорил Чарльз Дарвин, «математика наделяет человека новым, шестым чувством».

Хаотические и сложные системы на протяжении многих десятилетий были забыты официальной наукой. Наука XX века позволила понять, из какой ткани соткана Вселенная, познать относительность пространства-времени и микрокосм квантовой механики (его можно сравнить с игровым полем), а современная наука помогает лучше понять, как устроена наша реальность (то есть фишки на игровом поле). Однако подлинное величие науки в конечном итоге проявляется на практике, и лишь теперь, в начале XXI века, мы постепенно начинаем осознавать важность теории хаоса и наук о сложности.

В действительности теория хаоса — лишь одна из так называемых наук о сложности, так как хаотические системы — это всего одна из разновидностей сложных систем. Существуют и другие науки о сложности: фрактальная геометрия, теория катастроф, нечеткая логика и другие. Говорят, что описать класс систем, изучаемых в теории хаоса, сложно, потому что они находятся на полпути между порядком и беспорядком, словно между двух огней. Если крайне упорядоченные системы (например, хрусталь) или очень неупорядоченные системы (например, дым) просты и описать их несложно, то описать промежуточные системы сложнее всего. В частности, хаотические системы — это нелинейные детерминированные системы, обладающие непериодическим поведением, в силу которого они становятся непредсказуемыми. Согласно китайской пословице, взмах крыльев бабочки можно ощутить на другой стороне Земли. Или, как писал математик Блез Паскаль, будь нос Клеопатры чуть покороче, облик Земли стал бы иным: Октавиан влюбился бы в Клеопатру и не стал бы первым римским императором. Кроме того, как вы увидите чуть позже, хаотические системы вездесущи: их можно встретить в математике, физике, астрофизике, метеорологии, биологии и медицине. Иными словами, почти все (или даже все) реальные системы обладают хаотической динамикой.