Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

* * *

Пьер-Симон Лаплас был уверен, что система, описываемая законами Ньютона, должна быть предсказуемой. Однако оказалось, что динамическая система, подчиняющаяся законам Ньютона, может стать хаотической. Таким образом, одним из самых важных результатов теории хаоса стало опровержение тождества «детерминизм = предсказуемость».

Возможно, причина, по которой на протяжении трех столетий детерминизм отождествлялся с предсказуемостью, заключалась в том, что обычно рассматривались только линейные системы, а нелинейные оставались вне поля зрения ученых. Таким образом, вся Вселенная казалась подобной игрушечному механизму, столь же предсказуемому, как полет пушечного ядра или работа часового механизма.

Как это ни парадоксально, хаос детерминирован, он создается по строгим правилам, но накладывает фундаментальные ограничения на возможности составления прогнозов. Если мы допустим небольшую ошибку при измерении начального состояния системы (а это происходит постоянно, ведь в реальной жизни мы имеем дело с округленными и приближенными значениями), то в прогнозе, составленном по уравнению динамики, эта ошибка возрастет. Таким образом, прогнозированию препятствует сама реальность (любое измерение имеет конечную точность) и хаотическая структура уравнения динамики (изначальная ошибка возрастает экспоненциально).

Непредсказуемый хаос всегда остается детерминированным: если в две практически идентичные хаотические системы подать один и тот же входной сигнал, то выходной сигнал систем будет одинаковым, хотя и непредсказуемым. В качестве примера случайного и абсолютно детерминированного процесса можно привести бросок игральной кости. Сложно предсказать только одно — какой именно гранью вверх упадет кубик, поскольку любое незначительное изменение положения и скорости кубика повлияет на результат. Здесь источником случайности является выбор начальных условий. Если мы не можем полностью контролировать начальные условия, то и прогноз составить нельзя.

Две изначально близкие траектории в аттракторе Лоренцаотдаляются друг от друга. Обе траектории берут начало в одной и той же окрестности (обведена кружочком), однако по прошествии определенного времени они окажутся в разных частях аттрактора.

Существование хаоса ставит очень серьезный философский вопрос. Верификация научной теории заключается в составлении прогнозов и их последующей проверке.

Но для хаотических явлений в принципе невозможно делать прогнозы в среднесрочном или долгосрочном периоде. Предположим, что математик описывает некий физический процесс с помощью уравнений, демонстрирующих хаотическую динамику, то есть динамику, чувствительную к начальным условиям, в которой существуют случайные траектории, сплетенные с периодическими. Если наш математик с помощью классических математических методов попытается предсказать, каким будет состояние системы для данных начальных условий по прошествии длительного промежутка времени, он придет к выводу: «Я могу составить прогноз только в случае, если вы укажете положение начальной точки с бесконечно большой точностью». Так как на практике это невозможно, определить поведение системы в долгосрочном периоде нельзя. Ни один физик не рискнет работать с подобными уравнениями, ведь полученные результаты будут абсолютно случайными. Именно это произошло с метеорологом Эдвардом Лоренцем и астрофизиком Мишелем Эно, работы которых изначально не были оценены другими учеными.

Философский смысл проблемы таков: поскольку хаос подразумевает чувствительность к начальным условиям, неизбежные ошибки при определении начальных условий будут возрастать экспоненциально, и в результате практические прогнозы, составленные на основе хаотической модели, обязательно будут ошибочными. Возникает вопрос: как можно использовать моделирование, если в общем случае ошибка будет очень велика?

Ответ таков: хаотические системы могут оказаться невероятно полезными при прогнозировании, однако сам хаос по своей природе накладывает серьезные ограничения на возможность составления прогнозов.

Однако динамику хаотических систем можно спрогнозировать в краткосрочном периоде. А после этого, сколь бы точно мы ни измерили начальные данные, мы неизбежно допустим ошибку, которая впоследствии существенно возрастет, и с определенного момента динамика хаотической системы станет непредсказуемой.

Но эта непредсказуемость не проявляется мгновенно. Если составить прогнозы в среднесрочном и долгосрочном периоде нельзя, то, получается, наука бесполезна? Вовсе нет, ведь помимо количественных оценок существуют и качественные. Процитируем Пуанкаре, который в свое время объяснил суть вопроса с присущей ему четкостью:

«Физик или инженер скажет нам: „Можете ли вы проинтегрировать это дифференциальное уравнение? Результат понадобится мне через восемь дней, чтобы закончить проект здания в срок". Мы ответим: „Это уравнение не относится ни к одному из интегрируемых типов, и вам прекрасно известно, что других типов не существует". „Да, это мне известно, но для чего же тогда нужны вы, господин математик?" Ранее уравнение считалось решенным только тогда, когда его решение можно было представить с помощью конечного числа известных функций, однако найти решение в таком виде можно едва ли для одного процента уравнений. Мы всегда можем решить любую задачу „качественно", то есть попытаться определить общий вид кривой, описывающей неизвестную функцию».

Хаос помогает увидеть взаимосвязи, формы и структуры там, где никто не подозревает. В хаосе присутствует порядок: случайность описывается геометрически.

При подтверждении научной теории следует придавать большее значение геометрии, а не результатам экспериментов, то есть не количественным, а качественным факторам. Актуальный пример этому мы приведем в следующих главах, где будем говорить о глобальном изменении климата: метеорологи и климатологи часто жертвуют точностью прогноза, чтобы понять общую картину. Они ежедневно сталкиваются с нелинейными задачами и вынуждены делать выбор: составить точную модель, позволяющую делать прогнозы (существование такой модели по определению невозможно), или предпочесть ей упрощенную модель, чтобы рассмотреть явление в общих чертах. Цель науки — не только прогнозирование, не только поиск набора эффективных рецептов, но и понимание природы вещей.

К примеру, Декарт своей теорией вихрей и движущейся материи объяснял всё, но не предсказывал ничего. Ньютон, напротив, своими законами и теорией тяготения рассчитал всё, но не объяснил ничего. История подтвердила правоту Ньютона, а измышления Декарта отошли в область фантазий. На протяжении многих веков на первый план выдвигалась именно возможность составления прогнозов. Ньютоновская теория тяготения одержала верх над декартовой теорией вихрей, низвергнув ее в небытие. С математическими моделями теории хаоса происходит то же самое, что и с теориями Декарта: они имеют качественный характер и не могут применяться для составления прогнозов или как руководство к действию, а служат скорее для описания и понимания явлений природы.