Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

На этой диаграмме значения к откладываются по горизонтальной оси, значения, к которым стремится орбита х— 0,8, — по вертикальной. Если мы зафиксируем значение k, то вертикальный разрез будет изображением соответствующего аттрактора на интервале от 0 до 1. К примеру, при k— 3,0 вертикальная линия пересекает график всего в одной точке. Это означает, что точка имеет период, равный 1, и является фиксированной. Другой пример: при k— 3,2 вертикальная линия пересечет график в двух точках. Это означает, что орбита представляет собой 2-цикл. По мере движения по горизонтали от k— 2,4 до k— 4 ветви дерева Фейгенбаума будут раздваиваться вследствие удвоения периода. Когда мы преодолеем критическое значение 3,569945…, аттрактор, определяемый вертикальными линиями, превратится в беспорядочную полосу. Он будет представлять собой фрактал (Канторово множество). При значениях k, превышающих пороговое, будут наблюдаться отдельные островки периодичности. К примеру, при k— 3,82 на диаграмме наблюдается полоса: если мы проведем воображаемую вертикальную линию, она пересечет диаграмму всего в трех точках: вверху, в середине и внизу. Иными словами, орбита будет представлять собой 3-цикл. Как вы уже знаете, «период, равный трем, означает хаос», поэтому то хаотическое нагромождение точек, которое наблюдается на диаграмме для последующих значений параметра, не должно казаться таким уж удивительным.

Фейгенбаум вычислил отношения относительных расстояний между ветвлениями (иными словами, между размерами ветвей дерева) и заметил, что эти отношения в пределе стремились к 4,669201… вне зависимости от того, какое отображение рассматривалось — логистическое или любое другое.

Следовательно, найденная им постоянная была универсальной. Хотя Фейгенбаум обнаружил эту постоянную эвристическим методом, а не с помощью формального доказательства, его открытие считается гениальным.

Бифуркационная диаграмма, или диаграмма Фейгенбаума, для логистического отображения.

* * *

Кроме того, в 1988 году двое ученых из MIT, Джеральд Джей Сассман и Джек Уисдом, показали, что движение Плутона также является хаотическим. На самом деле траектория Плутона особенно интересна: его орбита пересекается с орбитой Нептуна, и, возможно, в не столь далеком будущем Нептун и Плутон столкнутся, и произойдет настоящая космическая катастрофа. С помощью суперкомпьютера Сассман и Уисдом рассчитали траекторию Плутона на ближайшие 845 млн лет и обнаружили, что в силу неопределенности исходных условий две изначально близкие траектории будут существенно различаться уже спустя всего 20 млн лет — совсем небольшой промежуток времени по сравнению с возрастом Солнечной системы, который составляет как минимум 4,5 млрд лет. К счастью, при движении нашей планеты хаос не столь заметен: неточности при определении положения Земли начинают наблюдаться только по прошествии 100 млн лет.

Гиперион— спутник Сатурна неправильной формы. Фотография сделана зондом Кассини-Гойгенс.

Есть и другие примеры, показывающие, как проявляется хаос в нашей Солнечной системе. Пояс астероидов между Марсом и Юпитером движется под действием силы притяжения Солнца, однако подвержен колебаниям, вызванным притяжением Юпитера. Таким образом, можно говорить о задаче трех тел (Солнце, Юпитер и пояс астероидов). Некоторые движения в этой системе будут равномерными, другие — хаотическими. Астероиды, движущиеся равномерно, остаются на своих орбитах, а те, что движутся по хаотическим траекториям, через некоторое время сходят с орбит и теряются в космосе. Следовательно, астероиды распределены неоднородно, между ними есть промежутки — щели Кирквуда, названные в честь американского астронома, который открыл их еще в 1860 году. Если при вращении вокруг Солнца астероид пересекает одну из этих зон, его период вращения входит в резонанс с периодом обращения Юпитера, и газовый гигант уводит астероид с орбиты. Если астероид, сойдя с орбиты, направится к Марсу или к Земле, то гармонии в Солнечной системе придет конец. Нечто похожее происходит с полосами между кольцами Сатурна: частицы, движущиеся в зоне резонанса, сходят с орбит, в результате чего образуются щели.

* * *

АНТИНЬЮТОНОВСКИЙ МИР

Американский физик Джулиан Спротт(род. 1942) описал мир, параллельный нашему, в котором первые два закона Ньютона выполняются, а третий, закон действия и противодействия, — нет. В этом мире силы взаимодействия двух тел не равны по величине и противоположны по направлению, а равны и по величине, и по направлению. Иными словами, когда лягушка, севшая на кувшинку, спрыгивает с нее, то кувшинка не отклоняется назад, а словно бы тянется вслед за лягушкой. Итоговая динамика обладает рядом любопытных свойств, в число которых входит хаотическое по ведение в задаче двух тел.

Хаотическая орбита в антиньютоновской задаче двух тел.

* * *

Но удивительнее всего хаотическое поведение не сложных систем (Солнечная система, погода, климат, атмосфера), а очень простых — оно свойственно, в частности, обычному маятнику. И действительно, если мы рассмотрим двойной маятник, который представляет собой обычный маятник, к концу которого подвешен еще один, то увидим, что при превышении определенного уровня энергии его движение становится хаотическим и абсолютно непредсказуемым.

Хаотическое движение двойного маятника.

* * *

НЕПЛОТНО ЗАКРЫТЫЙ КРАН

Многие из нас хотя бы раз наблюдали, как из неплотно закрытого крана капает вода. Но не все знают, что за этим явлением скрывается хаотическая система. Очень часто в падении капель нет никакой закономерности, и предсказать, когда упадет следующая капля, нельзя. Это явление изучил Роберт Шоу совместно с другими учеными из Калифорнийского университета. Его эксперимент начался с измерения временных промежутков между падениями отдельных капель с помощью микрофона. Затем полученные значения были сгруппированы попарно, и получилась последовательность пар чисел — точек плоскости. Изобразив эти точки на графике, исследователи получили сечение аттрактора. Если ритм падения капель был периодическим, на графике была видна разновидность предельного цикла, если же ритм был непериодическим, на графике наблюдался странный аттрактор. Это было не пятно, а структура, имеющая форму подковы — наиболее явного отпечатка, который оставляют операции растяжения и складывания траекторий, порождающие хаос. Здесь случайность опирается на детерминированный фундамент.