Карлос Мадрид - Мир математики. т.32. Бабочка и ураган. Теория хаоса и глобальное потепление

Весьма важный класс климатических моделей, обладающих большой ценностью при прогнозировании, образуют модели энергетического баланса. Эти модели были созданы Михаилом Будыко и Уильямом Селлерсом в 1969 году на основе работ шведского ученого Сванте Аррениуса, выполненных в конце XIX века. Эти модели основаны на дифференциальном уравнении, в котором производная, или скорость изменения температуры со временем, приравнивается к сумме и разности различных факторов (к примеру, из величины солнечной радиации, поглощенной Землей, необходимо вычесть величину радиации, которую испускает Земля подобно любому другому нагретому телу при теплоотдаче). В зависимости от того, какой вес будут иметь эти факторы относительно средней температуры, модели энергетического баланса будут выглядеть по-разному.

Модели этого типа могут быть очень сложными — так, огромной сложностью отличаются модели общей циркуляции, описывающие всю земную поверхность.

Разумеется, подобные модели не имеют аналитического решения и рассматриваются исключительно с помощью численных методов. Найти численное решение будет непросто — для этого потребуется выполнить невероятный объем расчетов. А для того чтобы расчеты можно было выполнить за разумное время, анализируемый участок земной поверхности не должен быть покрыт сетью метеостанций слишком гу сто (к примеру, при анализе климата на всем Пиренейском полуострове требуется чуть больше дюжины точек), что вызывает определенные неудобства.

Множество групп международного научного сообщества создали свои модели общей циркуляции. Модели такого типа используют ведущие агентства, занимающиеся прогнозированием климата, в частности Межправительственная группа экспертов по изменению климата ООН и Институт космических исследований имени Годдарда при NASA. По мере накопления результатов наблюдений и увеличения мощностей компьютеров приемы моделирования физических процессов и численные методы решения уравнений становятся все лучше.

Прогноз роста средних температур в 2070–2100 годах согласно модели общей циркуляции НаdCМЗ, предложенной Межправительственной группой экспертов по изменению климата ООН.

Не будем слишком торопить события и вернемся в 60-е годы, когда юный коллега Жюля Чарни, метеоролог Эдвард Лоренц, предложил любопытную модель из трех обыкновенных дифференциальных уравнений для описания движений воздуха в атмосфере. Сегодня она называется системой Лоренца. Как вы знаете из второй главы, Лоренц обнаружил, что решения системы демонстрируют хаотическое поведение, поэтому предсказать состояние рассматриваемой системы на практике нельзя. Если при наблюдении текущего состояния системы была допущена какая-либо ошибка (а для реальных систем это, по всей видимости, неизбежно), то дать надежный прогноз состояния системы в далеком будущем невозможно. Проще говоря, в системе Лоренца наблюдался эффект бабочки. Предоставим слово самому Лоренцу:

«Когда я применил свои результаты для анализа атмосферы, имеющей в высшей степени непериодический характер, то увидел, что если начальные условия в точности неизвестны, то предсказать достаточно далекое будущее нельзя ни одним методом. В силу неизбежной неточности и неполноты метеорологических наблюдений долгосрочные прогнозы, по-видимому, невозможны».

Вернемся еще дальше в прошлое, в 1908 год. К тому моменту Анри Пуанкаре уже подробно изучил целый класс нестабильных явлений, для которых предсказать динамику системы в долгосрочном периоде было невозможно. Пуанкаре взял за основу задачу трех тел, а также (обратите внимание!) задачу прогнозирования погоды.

Он признавал, что погода неустойчива, о чем было известно метеорологам, поэтому они не могли предсказать, где и когда будет наблюдаться циклон:

«Почему метеорологи испытывают такие трудности при составлении прогнозов погоды? Почему дожди и грозы возникают, казалось бы, случайно и многие люди, которым кажется смешным молиться о солнечном затмении, молятся, чтобы пошел дождь или на небе засияло солнце? Метеорологи знают, что в некоторой точке возникнет циклон, но не могут предсказать, где именно. Стоит возникнуть перепаду температур в одну десятую градуса между двумя точками, и тут и там возникнут циклоны, которые обрушат всю свою мощь на страны, которые в противном случае никак не пострадали бы».

Давид Рюэль писал: «Математика Пуанкаре сыграла свою роль, однако его идеи, касавшиеся метеорологических прогнозов, пришлось открыть независимо от него». В своей статье от 1963 году Лоренц упомянул труды Пуанкаре о динамических системах, однако идеи этого французского математика о хаосе, погоде и климате были ему неизвестны.

Поскольку даже такая простая модель, как модель Лоренца, демонстрирует хаотическую динамику, и более того, подобная динамика часто наблюдается в нелинейных системах, разумно предположить, что любая точная модель атмосферы также будет чувствительной к начальным условиям, и в результате взмах крыльев бабочки в такой системе действительно сможет вызвать торнадо. Очевидно, что верно и обратное. Не важно, взмахнет ли бабочка крыльями, — это в любом случае приведет к изменению начальных условий, и если в первом случае торнадо пройдет над Техасом, то во втором — над Сингапуром, или над Нью-Йорком, или, что еще лучше, не возникнет вовсе. Взмах крыльев бабочки вызовет мельчайшие изменения в атмосфере, и по прошествии определенного периода времени состояние атмосферы значительно изменится.

* * *

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В НЕБЕ

Среди хаотических явлений, которые привлекли внимание ученых благодаря тому, что связаны с климатом, особое место занимает переход потоков к турбулентности. Как мы уже упоминали, это явление изучали Давид Рюэль и Флорис Такенс, которые объяснили турбулентность математически с помощью странных аттракторов. Турбулентность, по сути, представляет собой хаос во времени и пространстве, и ее рассмотрел еще философ-эпикуреец Лукреций более 2000 лет назад. Переход потока от ламинарного, то есть постоянного, стабильного течения, к непредсказуемой, непостоянной, нестабильной турбулентности знаком любому, кто летал на самолете.

Дым сигареты Хамфри Богартасначала движется в ламинарном режиме, затем — в турбулентном, хаотическом.

* * *

Влияние хаоса на метеорологические прогнозы известно всем: предсказать погоду больше чем на десять дней вперед невозможно. По этой причине телевизионный прогноз погоды на неделю вперед и более обычно оказывается неточным: микроскопические ошибки при определении начальных условий в атмосфере постепенно возрастают и вызывают значительные ошибки в прогнозах.