Майкл Шермер - Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы

Представим, что ваша аудитория назвала 96 2. Сначала попробуйте сами, а потом сравните с нашим решением

Правда, было легко? Вам следовало округлить с помощью 4 до 100 и 92, а затем умножить 100 х 92 и получить 9200. В момент решения задачи вы можете проговаривать вслух: «Девять тысяч двести…» и затем закончить: «…шестнадцать». И наслаждаться аплодисментами.

УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Решите следующие задачи.

1. 14 22. 27 23. 65 24. 89 25. 98 2

6. 31 27. 41 28. 59 29. 26 210. 53 2

11. 21 212. 64 213. 42 214. 55 2 15. 75 2

16. 45 217. 84 218. 67 219. 103 220. 208 2

* * *

Зера Колберн: занимательные расчеты

Одним из первых извлечь выгоду из своего таланта — умения производить вычисления молниеносно — сумел Зера Колберн(1804–1839) , сын американского фермера из Вермонта, который выучил таблицу умножения до 100 даже раньше, чем научился читать и писать. Когда юному дарованию исполнилось шесть лет, его отец организовал тур, и выступления Зеры позволили скопить достаточный капитал для того, чтобы отправить мальчика в школу в Париже или Лондоне. В возрасте восьми лет он был известен во всем мире, выступал со своими молниеносными расчетами в Англии и был охарактеризован в Annual Register как «возможно, самый исключительный феномен в истории человеческого разума из когда-либо существовавших». Майкл Фарадей и Сэмюэль Морзе восхищались его талантом.

Где бы Колберн ни выступал, он всегда опережал всех соперников в скорости и точности. В автобиографии он рассказывает о наборе задач, которые ему задали в Нью-Хэмпшире в июне 1811 года: «Сколько дней и часов прошло с момента рождения Христа 1811 лет назад? Ответил за двадцать секунд: 661 015 дней, 15 864 360 часов. Сколько секунд содержится в одиннадцати годах? Ответил за четыре секунды: 346 896 000.

Колберн использовал методы, описанные в этой книге, чтобы проводить вычисления исключительно в уме. Например, он раскладывал большое число на меньшие сомножители и затем перемножал их: однажды Колберн умножил 21 734 х 543 путем разложения 543 как 181 х 3. Затем он умножил 21 734 х 181, чтобы получить 3 933 854, и наконец умножил это число на 3, чтобы получить в итоге 11 801 562.

Как часто бывает с такими людьми, интерес к удивительным способностям Колберна со временем утих, и в возрасте двадцати лет юноша вернулся в США и стал проповедником-методистом. Он умер в возрасте тридцати пяти лет. Подытоживая информацию о своих способностях к молниеносным вычислениям и преимуществам, которые такой дар дает, Колберн размышлял: «Действительно, метод… требует большего количества вычислений, чем общее правило. Зато запомнится то, что ручка, чернила и бумага обходились Зере очень дешево».

ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ

Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любителей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопроса не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исключение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!

В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы применили дистрибутивный (распределительный) закон, который позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c

(b + с) х а = (b х а) + (с х а)

То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 х 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:

42 х 7 = (40 + 2) х 7 = (40 х 7) + (2 х 7) = 280 + 14 = 294

Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, представьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из которых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Существует два способа получить ответ. С одной стороны, исходя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 х 7 монет. С другой — всего 40 х 7 золотых и 2 х 7 серебряных монет.

Следовательно, всего имеем (40 х 7) + (2 х 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 х 7 = (40 х 7) + (2 х 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими ( a, b или c ), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!

Используя подобную аргументацию о золотых, серебряных и медных монетах, получим более общий закон.

(b + с + d) х а = (b х а) + (с х а) + (d х а)

Следовательно, чтобы умножить 326 х 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 х 7 = (300 + 20 + 6) х 7 = (300 х 7) + (20 х 7) + (6 х 7), а затем складываем отдельные произведения.

Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. ( A и d — любые числа.)

Магия чисел действительно захватывает, когда выступаешь перед аудиторией. Мой первый опыт публичных выступлений пришелся на восьмой класс, в уже довольно «преклонном возрасте» тринадцати лет. Многие матемаги начинали еще раньше. Например, Зера Колберн (1804–1839) мог производить молниеносные расчеты еще до того, как научился читать и писать, и начал развлекать зрителей в возрасте шести лет! Когда мне было тринадцать, моя учительница алгебры записала на доске задачу, где следовало вычислить 108 2. Я быстро выпалил: «108 в квадрате будет 11 664!»

Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664».

Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом.

Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «теореме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл нечто новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спустя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной математике Mathematical Carnival («Математический карнавал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло.

Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учителей), используя некоторые из довольно удивительных примеров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научитесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попробуете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обязательно знать, как умножить два двузначных числа. Так что можете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке.