Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Детали доказательств теорем Гёделя из его знаменитой работы слишком трудны для того, чтобы понять их, не имея основательной математической подготовки. Но общую идею этих доказательств и значение следующих из них выводов вполне могут уяснить и читатели, обладающие совсем скромными познаниями в области математики и логики. Для этого читателю понадобятся разве лишь самые элементарные факты и понятия современной математики и формальной логики. Именно краткому знакомству с этим ограниченным запасом фактов и посвящены ближайшие четыре раздела нашего очерка.

Для XIX столетия характерна резкая интенсификация и расширение проблематики математических исследований. Были решены многие важные математические проблемы, не поддававшиеся усилиям лучшие мыслителей прошлых времен. Возникли совершенно новые математические дисциплины. В различных областях математики были выдвинуты новые основополагающие принципы, а применение старых принципов стало гораздо более плодотворным благодаря их пересмотру с учетом новой, более совершенной техники математического мышления. Вот простой пример. Еще греческие математики выдвинули три задачи из области элементарной геометрии: разделить на три части произвольный угол при помощи только циркуля и линейки; построить куб, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба; построить квадрат, площадь которого равнялась бы площади данного круга, Более двух тысяч лет эти задачи не поддавались решению, пока, наконец, в XIX столетии не было строго доказано, что предписываемые в них построения вообще нельзя осуществить. Эти результаты, интересные и сами по себе, вызвали глубокий интерес к изучению природы понятия числа и строения числового континуума (поскольку выяснилось, что для решения упомянутых задач недостаточны числа, являющиеся корнями уравнений, хорошо изученных еще античными математиками). Плодом этих исследований явились строгие определения, на основе которые удалось построить теории отрицательных, комплексных и иррациональных чисел. Была построена на прочной логической основе и общая теория действительных чисел. Возникла совершенно новая ветвь математики — теория бесконечных множеств и так называемых трансфинитных («бесконечных») чисел.

Но, пожалуй, наиболее важным достижением XIX века явилось решение еще одной задачи, также восходящей еще к грекам, которая с тех пор оставалась без ответа. В числе аксиом, на базе которых строилась евклидова систематизация геометрии, имеется так называемая аксиома параллельности. В предложенной Евклидом формулировке эта аксиома равносильна утверждению (хотя и не совпадает с ним), что через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой. Еще античным математикам эта аксиома отнюдь не казалась самоочевидной. Поэтому они пытались доказать ее в качестве следствия из остальных аксиом Евклида, которые, напротив, представлялись им совершенно очевидными. Можно ли, однако, действительно получить искомое доказательство для аксиомы параллельности? Поколения математиков безуспешно пытались ответить на этот вопрос. Но неоднократные неудачи попыток построения искомого доказательства не означали еще, что никто не преуспеет в этом деле больше, чем в важной для человечества проблеме изобретения безотказно и на все времена действующего средства от насморка. Такое положение вещей продолжалось до середины XIX столетия — до тех пор, пока в работах Гаусса, Бойаи, Лобачевского, Римана и других математиков не была доказана невозможность вывода аксиомы параллельности из остальных аксиом евклидовой геометрии. Этот результат имел громадное значение для понимания природы нашего мышления. В первую очередь он привлек внимание к тому поразительному факту, что можно доказать в качестве теоремы невозможность доказательства некоторых утверждений средствами данной системы.

Как мы увидим ниже, теорема Гёделя, которой посвящена наша книга, состоит в доказательстве невозможности доказательства некоторых арифметических утверждений средствами арифметики. Кроме того, разрешение старой проблемы об аксиоме параллельности неизбежно приводило к выводу, что аксиоматика Евклида отнюдь не является последним словом геометрии, — ведь можно, оказывается, построить новые геометрические системы, исходя из перечней аксиом, отличных от евклидовых и даже несовместимых с ними. Например, как хорошо известно, чрезвычайно интересные и плодотворные результаты были получены заменой евклидовой аксиомы параллельных допущением, согласно которому через точку, лежащую вне данной прямой, можно провести более чем одну прямую, параллельную этой прямой, или же, напротив, допущением, согласно которому параллельных прямых вообще не бывает. Традиционное убеждение, что аксиомы геометрии (или вообще аксиомы любой науки) могут быть приняты на основании их «самоочевидности», было, таким образом, совершенно подорвано. Более того, постепенно стало все более и более ясным, что подлинным предметом чистой математики является вывод теорем из постулированных допущений и что вопрос о том, являются ли аксиомы, принятые математиком для той или иной цели, в самом деле истинными, есть совсем не его забота. Наконец, плодотворные модификации ортодоксальной геометрической аксиоматики привели к пересмотру и уточнению аксиоматической базы многих других математических дисциплин.

На аксиоматической основе были полностью перестроены и такие области науки, которые до тех пор строились лишь более или менее интуитивным образом. Например, так строилась обычная арифметика натуральных чисел, до тех пор пока в 1899 г. итальянский математик Дж. Пеано, исходивший из несколько более ранней аксиоматики немецкого математика Р. Дедекинда, не аксиоматизировал ее.

Из всех критических работ по основаниям математики в конечном счете вытекает, что привычная трактовка математики как некоей науки «о числах» только способна вводить в заблуждение и никоим образом не соответствует подлинной сути дела. Ведь стало совершенно очевидным, что математика есть попросту наука, изучающая получение логических следствий из некоторых заданных аксиом, или постулатов. Фактически стало общепризнанным то обстоятельство, что математические выводы и заключения не имеют никакого другого смысла, помимо того в некотором роде специального смысла, который связан с терминами или выражениями, входящими в постулаты. Таким образом, математика оказалась даже еще значительно более абстрактной и формальной наукой, чем это было принято считать: более абстрактной — поскольку математические предложения в принципе могут быть истолкованы скорее как утверждения о чем угодно, а не как утверждения, относящиеся к некоторым фиксированным множествам предметов и неотъемлемым свойствам этих предметов; более формальной — поскольку правильность математических доказательств гарантируется чисто формальной структурой некоторых предложений, а отнюдь не содержанием этих предложений.