Эрнст Нагель - Teopeма Гёделя

Пусть K есть класс точек, членами которого являются вершины некоторого треугольника, a L — класс отрезков прямых, членами которого являются стороны этого же треугольника. Условимся понимать предложение «член класса K принадлежит члену класса L » как утверждение о том, что данная точка-вершина принадлежит данному отрезку-стороне. При таком понимании каждый из перечисленных пяти постулатов оказывается истинным утверждением. Например, первый постулат утверждает тогда попросту, что любые две точки, являющиеся вершинами некоторого треугольника, принадлежат в точности одному отрезку, служащему стороной этого треугольника. Аналогичным образом мы убеждаемся в истинности остальных постулатов и в совместимости всей данной системы постулатов в целом.

Непротиворечивость геометрии Римана также, оказывается, можно установить при помощи модели, реализующей ее постулаты. Мы можем интерпретировать (истолковать) слово «плоскость», фигурирующее в формулировках римановских аксиом, как поверхность некоторой (евклидовой!) сферы, под «точкой» понимать точку, лежащую на этой сферической поверхности, под «прямой» — дугу большого круга этой поверхности и т. п. Тогда каждый постулат римановской системы оказывается теоремой евклидовой геометрии. Скажем, риманов постулат параллельности при такой интерпретации гласит: «Через точку, лежащую на поверхности сферы, нельзя провести ни одной дуги большого круга этой сферы, которая не пересекала бы произвольной данной окружности большого круга, выбранной на этой поверхности».

Но приведенное рассуждение не является исчерпывающим доказательством непротиворечивости геометрии Римана: ведь оно существенно опирается на допущение о непротиворечивости геометрии Евклида. Так что теперь неизбежно встает вопрос: а действительно ли непротиворечива сама геометрия Евклида?

По давно установившейся традиции на такой вопрос отвечали обычно в том духе, что «аксиомы Евклида истинны, а стало быть, и непротиворечивы». Но такой ответ мы уже не можем более рассматривать как удовлетворительный (мы еще вернемся к этой теме и разъясним подробнее, в чем именно заключается его неудовлетворительность). Другой ответ состоит в том, что евклидовские аксиомы согласуются с фактическими — хотя и ограниченными — данными нашего опыта и наблюдения, относящимися к пространству, и что, принимая эти аксиомы, мы вправе обобщить, экстраполировать наши знания о некоторой ограниченной области. Однако самое большее, на что мы можем рассчитывать, исходя из таких «индуктивных» соображений, — то, что аксиомы «правдоподобны», истинны «с большой вероятностью».

Следующий важный шаг в решении обсуждаемой здесь проблемы непротиворечивости евклидовой геометрии предпринял Гильберт. Основная идея его метода подсказана аналитической геометрией, восходящей еще к Декарту. В предложенной Гильбертом «декартовской» интерпретации евклидовских аксиом они очевидным образом становятся истинными алгебраическими утверждениями. Например, фигурирующее в аксиомах плоской геометрии слово «точка» должно означать теперь пару действительных чисел, «прямая» — числовое соотношение, выражаемое уравнением первой степени с двумя неизвестными, «окружность» — числовое соотношение, выражаемое квадратным уравнением некоторого специального вида, и т. д. Геометрическое предложение, гласящее, что две различные точки однозначным образом определяют некоторую прямую, переходит теперь в истинное утверждение алгебры, согласно которому две различных пары действительных чисел однозначно определяют некоторое линейное уравнение; геометрическая теорема, согласно которой прямая и окружность пересекаются не более чем в двух точках, переходит в алгебраическую теорему о том, что система, состоящая из линейного и квадратного уравнений с двумя неизвестными, имеет самое большее две пары действительных корней, и т. д. Короче говоря, непротиворечивость евклидовских постулатов обосновывается тем обстоятельством, что они выполняются на некоторой алгебраической модели.

Такой метод доказательства непротиворечивости весьма плодотворен и эффективен. Но и при этом остаются высказанные выше возражения. В самом деле, ведь и здесь проблема, поставленная для одной области, лишь переводится в другую область. Гильбертовское доказательство непротиворечивости его системы геометрических постулатов показывает, что если «алгебра» (точнее, арифметика действительных чисел) непротиворечива, то непротиворечива и эта геометрия. Ясно, что доказательство, существенно зависящее от предположения о непротиворечивости некоторой другой системы, не является «абсолютным» доказательством непротиворечивости.

Все попытки решения проблемы непротиворечивости наталкивались на одно и то же затруднение: аксиомы интерпретировались с помощью моделей, содержащих бесконечное множество элементов. Ввиду этого ни одну из таких моделей нельзя было обозреть в конечное число шагов, так что истинность аксиом все еще оставалась под сомнением. Индуктивное рассуждение, обосновывающее истинность евклидовой геометрии, использует лишь конечное число наблюдаемых фактов, согласующихся, по-видимому, с аксиомами. Но заключение, по которому эта согласованность аксиом с наблюдаемыми фактами сохраняет свою силу для всей области и может служить оправданием системы аксиом в целом, само основано на экстраполяции от конечного к бесконечному.

Каким образом можно было бы обосновать законность скачка через пропасть, отделяющую конечное от бесконечного? Следует отметить, что упомянутая трудность уменьшается, — если и не совсем устраняется, — когда удается построить модель, состоящую лишь из конечного числа элементов. Примером такой конечной модели может служить описанная выше модель-треугольник, посредством которой мы установили совместимость постулатов, описывающих классы К и L. В таких случаях сравнительно легко фактически проверить, действительно ли все элементы модели удовлетворяют постулатам, и тем самым убедиться в истинности (а значит, и в совместимости) самих постулатов. Скажем, истинность первого из упомянутых только что постулатов удостоверяется тем фактом, что через каждые две вершины «модельного» треугольника действительно проходит в точности одна его сторона. Поскольку все элементы такой модели и интересующие нас отношения между ними доступны непосредственно и полному обозрению, а опасности двусмысленного истолкования результатов такого исследования практически нет, совместимость системы постулатов не может быть подвергнута хоть сколько-нибудь обоснованному сомнению.