Жуан Гомес - Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

«Если я скажу, что не могу оценить эту работу, вы, несомненно, будете удивлены. Но дело обстоит вот как. Оценить эту работу — все равно что оценить себя. Потому что все содержание работы вашего сына и результаты, к которым он пришел, практически совпадают с моими собственными размышлениями на эту тему за последние 30–35 лет. Я действительно поражен…»

Когда Янош с головой погрузился в работу над пятым постулатом Евклида, Фаркаш написал сыну тревожное предупреждение:

«Молю тебя, не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты затратишь на это все свое время, а теоремы останутся недоказанными. В этом беспросветном мраке могут утонуть тысячи таких гигантов, как Ньютон. Этот вопрос никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не достигнет ничего совершенного, даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе. Ради Бога, молю тебя, оставь эту материю. Страшись ее не меньше, нежели чувственных увлечений, потому что и она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни…»

Несмотря на трагический тон этого письма, Янош так и не внял предупреждениям отца и вскоре убедился, что пятый постулат не только недоказуем, но и к тому же не зависит от других постулатов. Этот результат стал основой альтернативной, но непротиворечивой геометрической теории.

Лобачевский и Бойяи заложили основы неевклидовой геометрии и неевклидовой тригонометрии. Они показали, что сумма углов треугольника меньше 180°, а также что не все треугольники имеют одинаковую сумму углов. Чем больше площадь треугольника, тем меньше сумма его углов. Таким образом, не существует подобных треугольников, то есть не существует треугольников одинаковой формы, но разного размера. В этой геометрии если два треугольника имеют конгруэнтные углы (одинакового размера), то и сами треугольники конгруэнтны, то есть они совпадают при наложении друг на друга. Не существует там и прямоугольников в евклидовом смысле: если три угла четырехугольника прямые (90°), то четвертый угол должен быть меньше. Потому что когда прямоугольник делится на две части, сумма углов каждого треугольника должна быть меньше 180°.

Несмотря на похожие результаты, задачи Лобачевского и Бойяи были различными. Янош Бойяи особенно интересовался разделением различных теорем и результатов на те, которые зависят от пятого постулата Евклида, и на те, которые не зависят от него. Николай Лобачевский был более радикален и совсем отказался от пятого постулата, предложив вместо него другой: через точку вне прямой проходит более одной параллельной линии.

* * *

КАК ВЫГЛЯДИТ НЕЕВКЛИДОВ ТРЕУГОЛЬНИК

Рисунок справа дает представление о том, как в гиперболической геометрии выглядит неевклидов треугольник АВС , полученный из прямоугольника. Мы видим, что сумма углов А, В и С действительно меньше 180°.

* * *

Моделью евклидовой геометрии является обычная плоскость с обычными понятиями точки и прямой линии. Модели, описанные ниже, помогут нам лучше представить и понять гиперболическую геометрию, а также эллиптическую геометрию, о которой мы расскажем позже.

Первая модель гиперболической геометрии строится на особой поверхности. Чтобы представить себе такую поверхность, мы должны представить человека, который катит магазинную тележку, или ребенка, который тянет игрушку на веревочке.

Когда ребенок движется по прямой линии и тянет за собой небольшую сумку на колесиках, траекторией ее движения является кривая линия, приближающаяся к траектории движения ребенка. Эта линия называется трактрисой.

Представьте себе человека, который тянет за собой какой-то предмет, и они оба движутся с одинаковой скоростью. В то время как траектория человека является прямой линией, траектория предмета представляет собой кривую линию, постепенно приближающуюся к траектории человека. Этот вид траектории иногда называют «собачьей кривой». В математических терминах это звучит более сложно: говорят, что кривая асимптотически приближается к прямой линии.

Эта кривая также называется трактрисой. Такую траекторию описывает объект, который находился на фиксированном расстоянии и двигался, приближаясь к прямой линии. Это показано на следующем графике:

Здесь точка А движется по прямой линии в направлении, указанном стрелкой, и тянет за собой точку Р . Траектория точки Р называется трактрисой.

Представим теперь, что эта кривая вращается вокруг прямой, образуя поверхность, называемую псевдосферой. Эта поверхность и является моделью гиперболической геометрии. Другими словами, фигуры, изображенные на псевдосфере (например, параллельные линии и треугольники) будут вести себя согласно законам неевклидовой геометрии, не приводя к каким-либо противоречиям.

Аксиомы геометрии Лобачевского следуют из свойств точек и прямых на этой поверхности.

Лобачевский предложил альтернативу пятому постулату: через точку Р вне прямой l можно провести бесконечное число прямых линий, не пересекающихся с прямой l . На этой поверхности параллельные линии не всегда являются эквидистантами — принципиальная разница с евклидовой геометрией — и сумма углов А, В и С меньше 180°.

Прямые линии на этой поверхности являются кратчайшими линиями между точками на ней. Такие линии называются геодезическими. Обратите внимание, что с точки зрения евклидовой геометрии, отказаться от которой очень трудно для неподготовленного ума, эти прямые линии оказываются кривыми. На рисунке ниже изображены несколько параллельных линий с точки зрения геометрии Лобачевского. Они изображены на поверхности псевдосферы.

* * *

РЕАЛЬНОСТЬ УДИВИТЕЛЬНЕЙ АБСТРАКЦИИ

В реальном мире тоже можно легко найти модели гиперболических поверхностей. Не стоит далеко ходить, достаточно рассмотреть в качестве гиперболической поверхности седло для верховой езды. Сумма углов любого треугольника, нарисованного на такой поверхности, составляет менее 180°, и параллельные линии здесь не находятся друг от друга на фиксированном расстоянии, а постепенно расходятся.

* * *

Такую поверхность можно увидеть в любом доме. В обычной спальне можно провести небольшой эксперимент, чтобы понаблюдать, как в гиперболическом мире движутся различные предметы. Нам потребуется кровать с ровной поверхностью, как на евклидовой плоскости. На нее мы поставим подвижный объект (см. рисунок ниже). Рядом с ним положим тяжелый предмет, так чтобы постель прогнулась. Мы теперь видим, что поверхность уже не является плоской, она искривилась. Из-за этой кривизны подвижный объект будет скользить к тяжелому предмету. Поверхность постели вокруг тяжелого предмета похожа на гиперболическую поверхность.