Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

50 = x 2=> х = √50 = 7,1 см;

125 = z 2 => z = √125 ~= 11,2 см.

Почему пазлы из 2000 элементов не содержат ровно 2000 элементов

Не всегда можно создать предметы точно такой формы или из точно такого числа элементов, как этого хочется их автору. Многие из вас наверняка собирали головоломки-пазлы, но немногие подсчитывали точное число их элементов. Некоторые могут возразить, что подобный подсчет не нужен, так как число элементов всегда указано на коробке: 500, 1000, 2000, 3000, 5000, 8000. Однако изготовители головоломок обманывают нас или, по меньшей мере, не говорят всей правды.

Пазлы из 500 элементов действительно содержат 500 элементов, но пазлы из 2000 элементов не содержат 2000 элементов, и чтобы убедиться в этом, не требуется подсчитывать их все. Все пазлы образуют форму прямоугольника, их элементы имеют различную форму, однако вырезаются из прямоугольного основания, в котором проделываются выступы и выемки. При изготовлении пазла из 2000 элементов нужно найти два целых числа, обозначающих число элементов на каждой стороне прямоугольника, произведение которых будет равно 2000. Так как 2000 = 24· 53, возможны следующие варианты:

1·2000 = 2·1000 = 4·500 = 8·250 = 10·200 = 16·125 = 20·100 = 25·80 = 40·50.

Соотношение ширины и высоты собранного пазла должно быть гармоничным и приближаться к соотношению сторон листа стандартного формата А4, то есть примерно равно 1,4. Однако прямоугольники, длины сторон которых являются делителями числа 2000, будут либо слишком вытянутыми, либо слишком «квадратными»:

50/40 = 1,25

80/25 = 3,2

Поэтому вместо 2000 используется 1998 элементов: разложив 1998 на простые множители, мы увидим, что два его делителя описывают прямоугольник, соотношение сторон которого очень близко к желаемому:

1998 = 2·3 3·37 => (2·3 3/37) = 54/37 ~= 1,46

Это интересный пример того, как разложение натурального числа на простые множители определяет дизайн предмета.

Снятие макияжа и теорема Пифагора

Макияж обычно снимают с лица специальными небольшими салфетками. Каждый производитель изготавливает салфетки особой формы, порой весьма далекой от привычных квадратов, прямоугольников или кругов.

На следующем рисунке изображен дизайн губки для снятия макияжа. На иллюстрации представлен вид сверху, но не следует забывать, что губка является трехмерной и имеет толщину, равную примерно двум сантиметрам. Она состоит из четырех частей, которые складываются подобно элементам головоломки:

Именно эта головоломка используется в одном из самых понятных доказательств теоремы Пифагора. Пусть а — сторона квадрата (гипотенуза каждой из маленьких салфеток), b и с — стороны салфеток, перпендикулярные друг другу (катеты).

В этом случае площадь большого квадрата выражается так:

a 2= 4·( b · c /2) + ( b — c ) 2

a 2= 2 bx + b 2— 2 bc + c 2

a 2= b 2+ c 2

Темы с вариациями

Композиторы знают, что один и тот же мотив, повторяясь, задает основную тему произведения, однако если тема повторяется без изменений, мелодия может оказаться монотонной и скучной. Красота хорошей музыкальной композиции проявляется не столько в самом мотиве, сколько в том, насколько разнообразны его вариации.

Дизайнеры верны этой идее, повторяя бесконечное множество раз логотип в дизайне товаров и упаковок. В подобных случаях чаще всего используется симметрия, которая не изменяет форму фигуры, а варьирует лишь ее местоположение.

Существует три преобразования на плоскости, которые сохраняют неизменными форму и размер: перенос, поворот и осевая симметрия (отражение).

Перенос изменяет местоположение, при повороте фигура вращается относительно неподвижной точки, называемой центром вращения, отражение, или осевая симметрия, заменяет исходную фигуру ее зеркальным отражением. С помощью этих трех преобразований один и тот же мотив может повторяться множеством способов, и всего существует семнадцать узоров, принципиально различных с математической точки зрения. В дизайне не требуется столько разных узоров — например, для логотипа в форме буквы Z используются только узоры, изображенные на рисунке ниже. Можно заметить, как повторяющаяся буква теряет исходный смысл и превращается в условный символ, служащий основой орнамента.

Преимущество подобного дизайна заключается в том, что марка становится узнаваемой, а паттерн легко воспроизвести автоматически, так что эту идею используют в своей продукции очень многие производители.

Может ли кто-то представить себе, что «Весна священная» Стравинского или «Герника» Пикассо — не продукты творчества, а открытия? Почему результаты математического творчества в большинстве своем рассматриваются как открытия, а не творения? Почему Пифагор считается творцом музыкального диатонического строя, но не творцом доказательства теоремы, носящей его имя? Ни описание диатонического строя, ни доказательство теоремы не были погребены под грудой бумаг или сокрыты в глубине пещеры, ожидая своего первооткрывателя, — они являются результатом творчества одного человека. Если читатель усомнится в этом, то может сам легко найти доказательство этой знаменитой теоремы, приведенное в «Началах» Евклида.

Британский математик Эндрю Уайлс очень хорошо описал, что чувствует математик начиная с того момента, когда сталкивается с задачей, которую не может решить, и до того момента, когда он находит решение:

«Наверное, лучше всего описать мои занятия математикой можно по аналогии с темной комнатой. Вы входите в большой дом, и вас окружает тьма. Вы то и дело натыкаетесь на мебель, но постепенно узнаете, где что стоит. Наконец, месяцев через шесть или около того вы нащупываете выключатель, и внезапно становится светло. Вы отчетливо видите, где находитесь».

Не все обладают столь выдающимися способностями, как Уайлс, который смог доказать великую теорему Ферма, неподвластную математикам всего мира в течение более трех столетий. Однако, быть может, великим математикам известны какие-то общие схемы или способы решения задач и доказательства теорем?

Первое правило творчества заключается в том, что нужно осмелиться войти в темную комнату. Встречаясь с незнакомой задачей, многие недооценивают свои способности. Нужно набраться смелости и быть готовым натыкаться на стены и мебель в темноте. Совершенные ошибки только помогут вам, хотя в это непросто поверить и об этом математики и преподаватели обычно умалчивают. Натыкаясь на мебель в темноте, вы постепенно узнаете, где что стоит. Вы не можете видеть шкаф, но представляете, как он выглядит и сколько в нем полок. В этот момент вы понимаете, с чем столкнулись, и можете четко сформулировать задачу. И хотя снаружи по-прежнему темнота, ваши мысли озаряет свет.