Микель Альберти - Мир математики. т.20. Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Краткий итог

Каковы особенности математического творчества? Творить математику означает, прежде всего, иметь необходимые идеи, чтобы прокладывать пути к новым формулам, теоремам и методам, которые постепенно позволят понять интересующие нас события и явления.

«Эврика!» Архимеда — тот момент вдохновения, описанный Пуанкаре, который многие называют «счастливым озарением», является лишь частью творчества. Это вдохновение приходит не случайно — оно является результатом длительного и упорного труда, а в психологии понимается как часть творческого процесса.

Эвристика, искусство изобретать и совершать открытия, описанное Дьёрдем Пойа и Имре Лакатосом, — путеводитель в мире математического творчества. И логика, которая сама по себе не творит, необходима в этом мире, особенно на таком важном этапе, как проверка правильности гипотезы.

Великие математические открытия неизменно сопровождаются кризисами и влекут значительные изменения, которые помогают преодолевать кризисы. Развитие знаний предполагает изменение сложившейся парадигмы, так как новые понятия обычно выглядят «чудовищно» и требуют глубокого пересмотра всего, что уже известно. В качестве примера можно привести степени с отрицательным показателем, квадратный корень из 2 и квадратные корни из отрицательных чисел. С созданием альтернативных геометрий геометрия Евклида перестала занимать привилегированное положение. Последней из альтернативных геометрий стала фрактальная геометрия, созданная во второй половине прошлого века благодаря развитию технологий.

Раньше багаж математика был очень легким — достаточно бумаги и карандаша, но теперь во многих разделах науки не обойтись без компьютера.

Чтобы обычный человек смог понять суть математического творчества, ему стоит применить математические методы и понятия для анализа различных событий повседневной жизни, явлений из сферы искусства, литературы или рабочих ситуаций. Взгляд в зеркало или в сторону горизонта побуждают творить формулы и определять отношения, помогающие лучше понять мир. Ни одну из этих формул нельзя считать результатом открытия — она не находилась по другую сторону зеркала и не была погребена в песке. Эти формулы родились благодаря нашему воображению, способному моделировать реальность в виде множества геометрических фигур.

Без нас не было бы ни формул, ни горизонта.

В этой книге мы привели примеры задач, с которыми сталкиваются художники и ремесленники. Произведения и тех, и других часто должны обладать достаточной геометрической точностью, поэтому, например, орнаментальная вязь, которая часто встречается в декоративно-прикладном искусстве, изображается поверх квадратной сетки. Ключ к задаче о циклических, или бесконечных кельтских узлах, которые являются частью кельтской культуры, связан с делимостью чисел. Не теорема помогла создать узлы — напротив, узлы помогли сформулировать теорему.

Математика применяется для решения множества рабочих задач, и часто теоретическое решение практической задачи не является ее лучшим практическим решением. Изучив различные ситуации, мы увидели, что построить равносторонний треугольник можно разными способами, что сумма округленных значений не равна округленному значению суммы и что, как правило, треть того, что мы видим, — вовсе не треть того, на что мы смотрим. Источники математического творчества и вдохновения могут лежать за пределами самой математики. Аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес создал два вымышленных артефакта, которые, в свою очередь, представляют собой два невозможных и удивительных математических объекта: книгу с бесконечным количеством страниц и диск, у которого нет второй стороны. И всего одна фраза из произведения итальянского писателя Итало Кальвино стала источником геометрической задачи и новой теоремы.

Рассмотрев теорему Вариньона, мы увидели, что логическое доказательство не объясняет суть рассматриваемого явления, и необходим контекст, чтобы понять его. Этот пример, показывающий, как важен контекст для понимания любой задачи, служит потрясающей метафорой, которая помогает понять еще одну основную мысль этой книги: математика создается не только профессионалами из мира математики, не только представителями университетской науки, не только исследователями и не только в рамках западной культуры. То, как ремесленники народа тораджи научились строить правильные многоугольники с помощью неевклидовых методов, показывает, насколько важны в математическом творчестве культурные и социальные аспекты. Необычные переживания расширяют кругозор и помогают творить, поскольку в подобных ситуациях нам приходится объяснять новое с помощью того, что нам уже известно. Например, мы можем провести аналогию между бамбуковой рейкой и компьютерной программой: в обоих случаях мы используем итеративный процесс, который гарантированно приводит к нужному результату.

Своеобразными испытательными полигонами творчества сегодня стали реклама и дизайн. Когда исчерпаны все известные способы и кажется, что мы придали вещам все возможные формы, возникают новые идеи, которые питаются из прежних источников. Математика помогает и в продажах. Математические объекты и понятия стали частью нашей повседневной жизни — мы постоянно встречаем их в рекламных сюжетах и в дизайне объектов, которые находятся от нас на расстоянии вытянутой руки. Пропорциональность чисел и фигур, лента Мёбиуса, теорема Пифагора, симметрия, бесконечность, функции и их графики, вероятность… И это далеко не все математические объекты, которые можно использовать в дизайне и рекламе.

Традиционно различают два основных вида творчества, которые взаимно влияют друг на друга: творчество через расширение и творчество через ассимиляцию. Расширение означает сдвиг известных горизонтов, а под ассимиляцией понимается творчество, предполагающее изменение базовых понятий математики. Результаты подобного творчества обычно становятся причиной крупных изменений в науке.

Законы математического творчества

Творить означает создавать что-то, чего раньше не существовало, будь то объект, процедура или понятие. Творить математику, по сути, означает решать задачи, поэтому мы делаем первый шаг к творчеству, когда задаемся вопросом, на который может ответить математика. Этот вопрос может родиться из другой математической задачи, теоремы или какого-то явления повседневной жизни. Погрузившись в суть вопроса, нужно внимательно изучить его, и в этом очень важную роль может сыграть социальное и культурное взаимодействие. Когда мы обмениваемся с другими людьми нашими идеями и рассказываем им о неудачах, это помогает осветить «темную комнату», в которую мы попали. Технологии могут оказать нам огромную помощь и стать источником вдохновения, поскольку позволяют реализовать самые немыслимые плоды нашего воображения.