Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Пространство, в котором две разные прямые соединяют точки Аи Ви в котором не выполняется первый постулат Евклида.

Именно это мы имели в виду, когда говорили, что Эйнштейн очень четко понимал исключительно формальный характер геометрии. Несмотря на это его интересовали не логические отношения между понятиями, а конкретный вопрос о том, как объяснить действие сил на расстоянии, не используя понятие эфира. Для Эйнштейна «точками» были точки пространства, положение которых определялось координатами, указывающими их местоположение и момент времени, когда мы их рассматриваем. «Прямыми» для него были кратчайшие пути между двумя точками, вдоль которых движется луч света. Если для того чтобы объяснить природу пространства, физику нужно отказаться от постулата о параллельности прямых, то почему бы не сделать этого? В мае 1919 года, спустя четыре года после того, как Эйнштейн определил тяготение как меру кривизны Вселенной, экспедиции на африканский остров Принсипи удалось обнаружить, как отклоняется луч света звезд, близких к Солнцу и видимых только во время солнечных затмений. Именно эти эксперименты вкупе с теоретическими исследованиями, а не использование неевклидовой геометрии, позволили подтвердить корректность теории относительности.

Разумеется, когда Евклид работал над «Началами», он не думал о том, что его «точки» и «прямые» можно заменить чем-то другим. Для него все составляющие геометрии были наполнены физическим значением. Доказательством этому служат формулировки аксиом, которые, в частности, гласят, что для двух данных точек можно провести соединяющую их прямую, а не что для всякой пары «точек» существует единственная «прямая», их содержащая, — как мы обычно понимаем эту аксиому. Различие между двумя этими формулировками заключается в этом едва заметном переходе от точек к «точкам» и от «можно провести» к «существует». Именно этот переход привел к тому, что геометрия обрела абстрактный характер, и родилась математическая логика.

Первым следствием революции, произошедшей в геометрии, стало переопределение понятия аксиомы: теперь не имело смысла искать «очевидные истины». С момента рождения неевклидовой геометрии аксиома стала представлять собой не более чем утверждение, которое из соображений удобства становится основой некоторой теории, после чего из этого утверждения выводятся теоремы. Живительная особенность языка заключается в том, что мы можем сочетать слова так, как нам заблагорассудится, но если мы будем соблюдать определенные правила, наш собеседник всегда поймет нас, даже если мы произносим фразу впервые. Однако придумав новое слово, мы должны объяснить его значение другим людям, и если они посчитают это слово бесполезным или неблагозвучным, оно вряд ли приживется в языке. Нечто подобное происходит и в логике: утверждение нельзя доказать «с чистого листа» — на этом листе вначале нужно записать некоторые принципы, истины, с которыми согласны все, а также правила дедукции или логического вывода, благодаря которым мы сможем получить новые утверждения на основе аксиом.

Классический пример подобного правила — modus ponens , «утверждающий модус», который заключается в следующем: «Если А , то В » и если А истинно, то В истинно. Вновь отметим, что значение правил логического вывода, как и значение аксиом, исключительно формально. Так, силлогизм: «Все люди могут летать.

Икар — человек, следовательно, он может летать» — корректен, в то время как высказывание: «Если идет дождь, земля мокрая. Земля мокрая, следовательно, прошел дождь» корректным не является. Хотя высказывание о мокрой земле после дождя выглядит разумным, а высказывание о летающих людях — совершенно абсурдным, первое высказывание корректно, а во втором перепутаны причина и следствие. Действительно, после дождя земля мокрая, однако если земля мокрая, это необязательно связано с дождем: например, по улице просто могла пройти поливальная машина. Также существует modus tollens (от лат. modus tollendo tollens — «путь исключения исключений»), который гласит, что из утверждения «Если А , то В » при ложном В выводится ложность А , как в высказывании «Если что-то неизвестно, об этом лучше промолчать. Если я говорю, то я знаю, о чем говорю».

* * *

ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Структуру modus ponens и modus tollens удобнее запомнить, если записать их в виде схем, в которых посылки и заключение разделены линией. Если мы обозначим через ¬Аи ¬Вотрицания Аи В, то есть утверждения, противоположные им по смыслу, то modus ponens и modus tollens будут описываться следующими схемами:

* * *

В общем случае правило вывода верно, когда его результат является истинным вне зависимости от толкования посылок. Так, высказывание «Если Р и Q , то R » корректно вне зависимости от значений Р, Q и R : всякий раз, когда Р и Q одновременно будут истинными, R также будет истинным. И вновь речь идет о формальном критерии, который подразумевает, например, что высказывание «Если ноль отличается от единицы и если единица равна нулю, то вы мой отец» является корректным. Так как ни в одном из возможных миров ноль не может отличаться от единицы и одновременно быть равным ей, исходные посылки никогда не будут верными. Это понимали уже схоластики, которые сформулировали выражение ех contradictione sequitur quodlibet , то есть «из противоречия следует все что угодно».

* * *

MODUS TОLLENS И ФАЛЬСИФИЦИРУЕМОСТЬ

Согласно философу Карлу Попперу(1902–1994), modus tollens — это единственное корректное правило вывода в естественных науках. Когда мы пытаемся объяснить какое-то явление, то научный метод, который Поппер назвал гипотетико-дедуктивным, заключается в том, чтобы выдвинуть гипотезу и провести эксперимент, который позволит опровергнуть ее. Если из гипотезы Нследует наблюдаемое следствие 0, которое неизменно повторяется в лабораторных условиях, то Нстановится научным законом. Однако если мы не можем поочередно проверить все возможные ситуации, в которых применима наша гипотеза, то мы никогда не сможем быть уверенными в ее истинности. Чтобы быть уверенными в том, что все лебеди — белые, нужно исследовать все уголки планеты, однако достаточно увидеть всего одного черного лебедя, как это произошло с первыми поселенцами в Австралии, чтобы опровергнуть гипотезу. Этот принцип известен под названием принципа фальсифицируемости и является не чем иным, как modus tollens : «Если гипотеза Нверна, то из нее следует следствие 0. Так как мы наблюдаем противоположное 0, то гипотеза Нложна».