Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

После того как мы доказали, что существует натуральное число, отличное от нуля, которое называется единицей, эти же рассуждения можно повторить и показать, что существует еще одно число, отличное от нуля и единицы. И действительно, «число, следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1) и «единица есть натуральное число» (2). Применив modus ponens, получим, что «существует число, следующее за единицей» (3). Это число мы назовем двойкой. Согласно аксиоме № 4, «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом» (4). Наша теорема гласит, что «ноль и единица — различные числа» (3), таким образом, вновь применив modus ponens, имеем: «число, следующее за нулем, отличается от числа, следующего за единицей» (6), и этими числами, о которых идет речь, являются единица и двойка. С другой стороны, двойка и ноль — различные числа, так как двойка следует за единицей, а ноль не следует ни за каким натуральным числом.

Если мы повторим эти же рассуждения, заменив единицу на двойку, то докажем, что существует натуральное число, которое мы назовем «три» и которое отличается от всех уже упомянутых, то есть от нуля, единицы и двойки. Повторив эти же рассуждения достаточное число раз, можно доказать, что конкретное число, например 1729, отличается от следующего за ним и от всех предыдущих. Благодаря аксиоме индукции, чтобы доказать утверждение «всякое натуральное число отличается от следующего», достаточно доказать, что единица отличается от нуля (иными словами, что падает первая костяшка домино) и что это же утверждение верно для произвольного конкретного числа и следующего за ним (другими словами, что при падении костяшки домино падает и следующая за ней).

Читатель, дошедший до этих строк, усомнится, обязательно ли прибегать к такому многословию, чтобы убедиться в элементарном, а именно в том, что два натуральных числа различны. И он будет совершенно прав, поскольку ни один отец не станет таким способом объяснять сыну, что две карамельки в кармане не то же самое, что всего одна. Однако логика описывает не рассуждения обычной жизни, а способ, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному заключению. Мы избавили термины «ноль», «число» и «следующее» от всех интуитивно понятных значений, сведя их к абстрактным понятиям, связанным между собой посредством аксиом и правил вывода.

Благодаря новой концепции аксиом и доказательств, те теории, в которых немногие очевидные истины занимали привилегированное положение, стали более демократичными системами. В этих системах любые высказывания могут быть названы аксиомами. Однако это верно лишь априори, поскольку неразумно допускать, чтобы грудной ребенок был избран премьер-министром, и столь же неразумно выбирать аксиомы совершенно произвольно. Подобные ограничения никак не умаляют полезность и аксиоматических теорий. Евклид четко понимал, как следует выбрать аксиомы, но когда использовать повседневный опыт оказалось невозможно, пришлось определить формальные критерии корректности аксиом: непротиворечивость, рекурсивную перечислимость и полноту.

Чтобы объяснить, что означает непротиворечивость системы аксиом, немного пофантазируем о технологиях будущего. Мы легко можем предположить, что через сто лет группа ученых создаст всеразрушающий снаряд, способный в мгновение ока уничтожить любой предмет. Мы также можем представить, что, создав новые сплавы, другая группа ученых спроектирует самолет, неуязвимый для любого оружия.

Каждое из этих утверждений вполне допустимо, например, в научно-фантастическом фильме, однако в сценарии вряд ли обе эти гипотезы будут выполняться одновременно, поскольку если кто-то выстрелит всеразрушающим снарядом по неуязвимому самолету, мы столкнемся с парадоксом.

В общем случае говорят, что множество аксиом является непротиворечивым, если оно не порождает противоречий, то есть если из него нельзя вывести некоторое высказывание и его отрицание одновременно. Так, аксиомы «существует всеразрушающий снаряд» и «существует неуязвимый самолет» противоречивы, так как из первой следует, что при ударе снаряда самолет разрушится, а из второй — что самолет останется неповрежденным. Требование непротиворечивости — минимальное требование к аксиомам, но проблема заключается в том, что гарантировать непротиворечивость системы аксиом часто можно только с помощью более сложных теорий, непротиворечивость которых ставит больше вопросов, чем ответов. Эта гигантская черепаха, которая стоит на другой черепахе, та — на третьей и т. д. до бесконечности, будет одним из чудовищ, с которым придется сразиться героям нашей истории.

* * *

В ПРОТИВОРЕЧИВОЙ СИСТЕМЕ АКСИОМ ЛЮБОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ — ТЕОРЕМА

Допустим, что мы хотим доказать истинность высказывания Q. Так как система аксиом противоречива, существует теорема Р, отрицание которой, не-Р, также будет теоремой. Это означает, что можно найти доказательства Ри не-Р. Как мы уже говорили, когда речь шла о правилах вывода, заключение «Если Р и не-Р, то Q» является корректным, так как исходные посылки никогда не выполняются одновременно. Так как в противоречивой системе аксиом Ри не-Р— теоремы, объединив правило вывода «Если Ри не-Р, то Q» и доказательства Ри не-Р, с помощью modus ponens можно показать, что Q— теорема. Иными словами, сколь бы невероятным это ни казалось, в мире, где ноль равен единице и одновременно отличается от нее, вы — мой отец (даже если вы — женщина). Ex contradictione… — из противоречия следует все что угодно.

* * *

Чтобы объяснить понятие полноты, оставим в стороне научную фантастику и воспользуемся примером, который мне подсказало одно из произведений аргентинского писателя Гильермо Мартинеса. Представьте, что в закрытой комнате совершено убийство. Прибыв на место преступления, полиция обнаруживает рядом с трупом двух подозреваемых. Каждому из них известна вся правда о том, кто же убийца. Тем не менее если подозреваемые не признаются, полицейским придется начать поиски отпечатков пальцев, следов ДНК и любых других косвенных доказательств, которые позволят вынести обвинение. Если же эти поиски ни к чему не приведут, то подозреваемые будут выпущены на свободу.

Или: после тяжелого рабочего дня полицейские отправляются в бар, чтобы расслабиться. Один из них только что поступил на службу, и остальные едва знакомы с ним. Судя по тому, что он рассказывает сослуживцам, он родился в Саламанке, затем его семья сразу же переехала в Барселону, потому что его родители хотели жить у моря. При этом его коллеги не могут понять, женат он или нет. Нет сомнений в том, что на этот вопрос существует только один правильный ответ.