Хавьер Фресан - Том. 22. Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы

Сёрен Кьеркегор

Хотя родители юного Бертрана Рассела в своем завещании указали, что их младший сын должен воспитываться на тех принципах, во имя которых они сражались во времена викторианской Англии, бабушка со стороны отца не допустила, чтобы этот мальчик с умными глазами стал атеистом. Ребенка передали воспитательницам, которые в классическом духе обучали Бертрана религии и иностранным языкам, благодаря чему юный аристократ в совершенстве овладел французским, немецким и итальянским и несколькими годами позже смог с легкостью путешествовать по всему миру. Однако в те далекие дни юности Бертран думал лишь о замысловатых греческих символах, которые так подходили для того, чтобы выразить его печальные мысли о самом себе и о выпавшей ему доле.

Меланхолию не развеяло даже поступление в академию города Саутгейт для подготовки ко вступительным экзаменам в Кембриджский университет. Рассел надеялся, что общение со сверстниками ему поможет, он представлял себе идиллические картины, в которых он читал великих английских поэтов и обсуждал их творчество с другими учениками или спорил до рассвета о занимавших его философских проблемах. В действительности его ждала группа молодых людей, которые думали только о выпивке и волочились за женщинами, а женщины при каждом удобном случае смеялись над робким впечатлительным юношей. Подобно романтическим героям, Бертран многие вечера провел, гуляя по тропинкам Саутгейта, любуясь закатом и думая о самоубийстве.

Он не сделал этот последний шаг не потому, что ему не хватило духа, а потому, что когда Бертрану было 11 лет, его брат Фрэнк открыл ему врата рая, который стал для него настоящим спасением и о котором еще столько предстояло узнать. Знакомство юного Рассела с райским садом «Начал» Евклида, к которым он обращался всякий раз, когда враждебный мир делался невыносимым, было подобно первой любви. Однако счастье Бертрана было неполным — хотя, по рассказам, греческий мудрец доказал все, каждый, кто открывал страницы этой книги, должен был принять на веру следующее утверждение: «Точка есть то, что не имеет частей».

Бертран Расселв 1893 году в возрасте 21 года, удостоенный степени бакалавра математики кембриджского Тринити-колледжа.

А если бы она имела части? «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую». А если нельзя? Бертран неохотно прислушался к совету брата, говорившего, что если не принять аксиомы на веру, обучение продолжить нельзя.

Прошло время, и спустя 12 лет после приезда в Олд-Саутгейт Бертран снова оказался в тупике — как в те моменты, когда он думал о самоубийстве. За эти 12 лет успело произойти многое: он получил степень по математике и философии в Кембриджском университете, где тайное общество лучших студентов, называвшее себя «Апостолами», наконец подарило ему тысячи часов бесед, которые он надеялся найти во время учебы. Он успел совершить путешествие, опубликовать первые книги о немецкой социал-демократии и основах геометрии и сочетаться браком с Элис Пирсолл — дочерью американских квакеров. Основным занятием Рассела оставалась математика, а его целью было свести аксиомы геометрии к законам логики, чтобы никакое утверждение больше не требовалось принимать на веру.

Попытавшись вывести из логики всю математику, Бертран столкнулся с противоречием, которым на первый взгляд казалась одна из задачек вида «Может ли мужчина жениться на сестре своей вдовы?». Чтобы увидеть, в чем заключается подвох, достаточно проанализировать значение каждого понятия. Однако разрешение противоречия, которое волновало Рассела, требовало гораздо больших усилий: два лета подряд он день за днем глядел на чистый лист бумаги, утро сменялось полуднем, наступал вечер, а лист по-прежнему был чистым, и в конце концов он пришел к мысли о том, что не существует множества всех множеств, которые не содержат сами себя.

Чтобы понять, в чем заключается парадокс, который положил конец счастливой и спокойной жизни Бертрана Рассела, сначала в нескольких словах опишем основы теории множеств. В предыдущей главе мы хотели показать, что основы аксиоматического метода можно встретить уже в «Началах», однако для Евклида аксиомы были очевидными истинами, а не исходными утверждениями, выбранными из соображений удобства. Со временем языка Евклида оказалось недостаточно для изложения новых математических идей. Доказать сложные теоремы XIX века исключительно с помощью слов и фигур было так же сложно, как сегодня перевести на один из мертвых языков инструкцию для iPhone.

Постепенно математическая нотация становилась все более символической: была введена форма, пригодная не только для записи рядов, производных и интегралов, — благодаря работам английского математика Джорджа Буля(1815–1864) стало возможным записывать в виде уравнений логические высказывания. Геометрия изучает фигуры в пространстве, арифметика — числа, математический анализ — средства, необходимые для формализации физических законов, алгебра — уравнения. Можно ли найти язык, общий для всех этих дисциплин, который сделал бы очевидным их единство?

* * *

БУЛЕВА АЛГЕБРА

Джордж Буль был первым, кто провел аналогию между логическими связками «и» и «или» и операциями умножения и сложения в алгебре. Он также ввел обозначения 0 («ложь») и 1 («истина») для двух значений логических переменных. Перед тем как рассмотреть пример, напомним, что при умножении чисел результат равняется нулю только тогда, когда одно из этих чисел равно нулю.

Допустим, что мы хотим перевести на язык алгебры высказывание «Все люди смертны».

Буль предложил обозначить через р значение истинности высказывания «быть человеком», за q— значение высказывания «быть смертным». Этот хитроумный прием позволяет свести содержание фразы к уравнению р·( 1— q) = 0.

Так, если некто является человеком, то рпринимает значение истинности 1 («истина»).

Уравнение гласит, что произведение чисел р и (1 — q) равно нулю. Так как р отлично от нуля, то 1 — qдолжно равняться нулю. Однако это означает, что q равно 1 («истина»), то есть что человек смертен.

Джордж Буль, один из прародителей вычислительной алгебры.

* * *

Размышляя о проблеме, которая изначально не имела ничего общего с этим скорее философским, нежели математическим вопросом, Георг Кантор в период с 1878 по 1884 год считал, что нашел ответ в теории множеств. На интуитивном уровне множество определяется как совокупность объектов: мы говорим о множестве животных, множестве парков Парижа или множестве читателей этой книги.