Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Доказано, что с помощью циркуля и линейки можно построить правильный многоугольник с произвольным числом сторон, площадь которого будет равна площади данного квадрата. Хотя существование решения этой задачи доказано теоретически, найти его не всегда просто. Использовав это доказательство, Антифонтиз Афин(ок. 480–411 гг. до н. э.) изложил метод решения задачи о квадратуре круга, логику которого сложно оспорить. Его суть заключалась в следующем: будем исходить из того факта, что можно построить квадрат, площадь которого будет равна площадям ряда правильных многоугольников, которые мы построим. Впишем в данную окружность шестиугольник.

Нам известно, что задача о квадратуре шестиугольника имеет решение, то есть мы можем построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого будет равна площади заданного шестиугольника. Будем увеличивать число сторон многоугольника, вписанного в окружность, и для каждого из этих многоугольников задача о квадратуре по-прежнему будет иметь решение. Разница между площадью окружности и площадью вписанного многоугольника будет последовательно уменьшаться. По сути, она может быть сколь угодно малой. Представим себе, например, многоугольник, число сторон которого равняется нескольким квадриллионам. Любая из его сторон будет очень близка к дуге окружности, так что их будет очень и очень сложно отличить. Антифонт считал, что таким способом можно решить задачу о квадратуре круга.

Его рассуждения логически безупречны. Единственный их недостаток заключается в том, что переход, который он считает совершенно естественным, выполняется на недоступной нам территории, где правят бесконечно малые величины.

Окружность — это реальная фигура, равно как и многоугольник с бесконечным числом сторон, но когда мы рассматриваем переход от многоугольника с бесконечным числом сторон к окружности, мы имеем дело с актуальной бесконечностью. Пока этого не происходит, речь идет о потенциальной бесконечности.

* * *

КВАДРАТУРА СТОЛА

Задача о квадратуре обычно представляет сложность даже для очень простых фигур, например треугольника, пятиугольника или шестиугольника, и некоторые решения названы по именам их авторов. Например, чтобы решить задачу о квадратуре для равностороннего треугольника, нужно разделить его (разумеется, с помощью циркуля и линейки) следующим образом.

Из этих частей можно составить квадрат той же площади, что и треугольник.

Мати Грюнберг использовал это решение и создал стол-трансформер, который, в зависимости от ситуации, может иметь форму квадрата или треугольника.

* * *

Без чисел 1, 2, 3, …» которые мы обычно используем при счете, во время измерений не обойтись. Если мы возьмем, например, сравнительно ровный кусок дерева и нанесем на него метки, соответствующие каждому числу так, что они будут находиться на равном расстоянии друг от друга, то сможем измерять расстояния. Расстояние между двумя соседними отметками будет единицей измерения.

Допустим, что наша единица измерения задается отрезком ОА , и мы хотим измерить длину доски В. Наложим единичный отрезок на доску и подсчитаем, сколько раз он укладывается на ней. Допустим, что отрезок укладывается на доске ровно пять раз. В этом случае говорят, что длина доски равна 5 единицам. Нам повезло: результат оказался целым числом.

Но могло случиться и так, что длина составила бы 4 с половиной единицы. Ничего страшного — это означает, что нужно всего лишь разделить нашу единицу измерения пополам. На языке математики это записывается дробью вида 1/2. Именно так изготавливаются линейки, и чем больше на них делений, тем выше точность измерений.

Очевидно, что точность измерений в этом случае будет иметь предел по чисто физическим причинам, связанным с шириной отметок и нашей способностью различить их. В школьных линейках расстояние между соседними отметками обычно равняется одному миллиметру, то есть единица измерения (сантиметр) делится на десять частей.

Прежде чем продолжить объяснения, напомним читателю некоторые определения элементарной геометрии. Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой, то есть составляет 90°. Например, треугольник АВС , изображенный на следующей странице, прямоугольный, так как угол В равен 90°. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, третья сторона — гипотенузой. Как следствие, гипотенуза всегда — самая длинная сторона прямоугольного треугольника, и лежит она против прямого угла.

Знаменитая теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Таким образом, выполняется равенство:

С его помощью можно найти длину гипотенузы по известным катетам. Например, в треугольнике

выполняется равенство

Таким образом, длина гипотенузы равна 5.

Теперь предположим, что мы выбрали единицу измерения на прямой с началом отсчета в точке О так, что ОС = 1. Построим отрезок, перпендикулярный этой прямой, проходящий через точку С , такой что длина CD также будет равна 1. Как можно видеть на следующем рисунке, мы получили прямоугольный треугольник OCD с гипотенузой OD .

Применив теорему Пифагора, получим

Таким образом, = 1 + 1 = 2, откуда OD = √2

Если мы с помощью циркуля отложим значение OD на прямой, то не сможем присвоить отрезку ОС никакого значения. В этом смысле отрезок ОС является несоизмеримым.

Это означает, что √2 нельзя представить в виде дроби, что приводит нас к строгому определению рационального числа: говорят, что произвольное число N является рациональным, когда его можно представить в виде частного двух целых.