Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

По определению из словаря, «бесконечность» обозначает нечто чрезмерно великое, необычайно большое или продолжительное. Однако мы часто используем это слово, говоря «бесконечное пространство», «бесконечно много раз», «бесконечное время», «бесконечное терпение». Все мы понимаем смысл этих выражений, но если мы попробуем разобраться, что же имеется в виду на самом деле, то увидим, что наши способности размышлять о бесконечности ограничены, и мы быстро переходим к банальностям и клише, которые никак не помогают нам приблизиться к пониманию сути бесконечности. Это понятие имеет философскую природу: размышлять о бесконечности означает философствовать, а для таких размышлений нужно иметь какую-то отправную точку. Проще всего будет обратиться к словарю.

В толковом словаре русского языка слово «бесконечность» имеет четыре значения.

1. Отсутствие конца, предела наличию каких-либо однородных объектов в пространстве или последнего момента осуществления каких-либо процессов.

2. Пространство, не имеющее видимых границ, пределов.

3. Условная величина, которая больше любого наперед заданного значения (обозначается знаком ).

4. Техн. Знак, метка, показатель условной величины, обозначающей предельную дальность действия прибора (используется в оптике, механике).

Проанализируем эту статью не с лингвистической, а с математической точки зрения и постараемся как можно ближе подойти к истинному значению этого слова.

Первое определение гласит, что бесконечность — это нечто, не имеющее конца, пределов. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, обратим внимание на тонкое различие: когда мы говорим, что бесконечность не имеет конца, то мы утверждаем, что она существует и у нее отсутствует конец. Когда мы говорим, что бесконечность не может иметь конца, то утверждаем, что если она существует, то ее предел недостижим. Вам может показаться, что это различие несколько натянуто, однако в нем проявляется разница между потенциальной и актуальной бесконечностью — двумя понятиями, о которых мы подробнее поговорим чуть позже.

Во втором определении речь идет скорее о чувствах и ощущениях. Третье определение ближе всего к строгому математическому определению бесконечности. Обратите внимание на знак бесконечности, об истории возникновения которого мы поговорим далее.

Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконечности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идет о ее пространственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям напоминает вид звездного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредельной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.

Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в любой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, … Когда заканчивается этот ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «бесконечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.

Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду еще одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание, будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьезных неудобств при изучении бесконечности.

* * *

ЗНАК БЕСКОНЕЧНОСТИ

Круг, изображаемый на иконах над головами святых, символизирует вечность. Латинское слово caelum означает и «небосвод», и «круг». Эта бесконечная кривая, которую можно обойти бесконечное число раз за бесконечное время, символизирует вечность. Аналогично в некоторых языческих верованиях в качестве символа святости вместо круга использовался знак бесконечности. В большинстве версий карт Таро на первой карте над головой Мага изображен знак бесконечности. Этот символ, который многие ошибочно называют «перевернутой восьмеркой», представляет собой так называемую «лемнискату Бернулли». Он был введен британским математиком Джоном Валлисом(1616–1703). Согласно другой версии, этот знак происходит от буквы М(обозначавшей тысячу), написанной курсивом, и Валлис, который также был филологом, начал использовать этот знак для обозначения очень больших чисел.

На карте Таронад головой Магаизображен знак бесконечности.

* * *

Проведем небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдет мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определенный момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет все меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины.

Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать на бесконечно малую высоту?

Следовательно, мы можем представить себе бесконечность не только как нечто необъятное, но и как нечто бесконечно малое. Представьте себе отрезок, разделенный на две части. Каждую из них, в свою очередь, можно разделить еще на две части и т. д. По крайней мере теоретически мы можем делить отрезок бесконечное число раз и всякий раз будем получать все более и более мелкие отрезки. Есть ли этому предел? Нет, ведь подобно тому, как мы всегда можем добавить еще одно число к натуральному ряду, так и в этом примере мы всегда можем разделить полученный отрезок еще раз. Таким образом, «бесконечность» может относиться как к чему-то бесконечно большому, так и к бесконечно малому.