Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Первые рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как известно, одной из многих заслуг греческих философов было создание собственного философского языка. Они обозначали идеи конкретными словами, сформировав философскую терминологию, такую же точную, как научная терминология (или даже более точную), так как в конечном итоге последняя произошла от первой. В нашем случае ключевым понятием является «апейрон» — слово, происходящее от греческого рérаtа , что означает «предел». Следовательно, нечто, не имеющее pérata , называется апейрон (á peiron ) — «бесконечное, беспредельное».

В греческой философии это «беспредельное» приобрело особое значение: под ним понималось не столько нечто неограниченное, как в наши дни, а источник всего сущего. За этим понятием скрывалась следующая идея: все сущее определяют прежде всего его пределы. Эта идея распространялась как на живые, так и на неживые объекты. Если мы представим себе произвольный объект, например стол, то первое, на что мы обратим внимание, — это не его назначение, а границы, которые отделяют его от всего остального. Живая клетка существует потому, что у нее есть мембрана, отделяющая ее от окружающей среды. Таким образом, можно утверждать: все на свете существует в своих пределах и благодаря им. Апейрон подобен некой неопределенной субстанции, в которой зародилось все сущее, когда в этой субстанции возникли границы, или пределы. Как следствие, причина существования апейрона — скорее присутствие чего-то неопределенного, нежели безграничного.

Поэтому неудивительно, что апейрон считался не только источником живительной силы — ему также приписывалась способность наделять вещи определенными свойствами. Так апейрон и, как следствие, представление о бесконечности в различных религиозных учениях стали связывать с Богом.

Возникла некоторая неоднозначность и даже противоречие: апейрон как основа всего сущего связан с первородным хаосом, то есть с чем-то плохим, нежелательным, чем-то, что не является частью нашего существования. Отсюда и неоднозначность понятия «бесконечность»: его можно связывать как с чем-то божественным и недостижимым, так и с чем-то беспорядочным, хаотичным — чистым злом.

Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре, Хорхе Луис Борхес писал: «Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идет не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идет о бесконечности».

Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным геометрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в существование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место, которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нем сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство может быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.

В рамках этой логики считалось, что звезды и планеты движутся по идеальным окружностям, так как их движение непрерывно, и если бы их траектории были прямолинейными, то они были бы бесконечно протяженными. Это представление о мире впоследствии перенял Коперник и даже сам Кеплер, которые разделяли эту точку зрения на пространство и бесконечность.

В Элейской школе, к которой принадлежали Парменид(530–460 гг. до н. э.) и Зенон(490–430 гг. до н. э.) , реальность, Вселенная не могли иметь начала, а следовательно, и конца. Об этом Парменид писал: «…Все едино, недвижимо и бесконечно, так как по другую сторону его предела находилась бы пустота». Это заводит нас в тупик, поскольку пугающая бесконечность в этом случае сменяется столь же пугающей пустотой.

Некоторые понятия недоступны нашему пониманию, но тем не менее они существуют. Между страхом абсолютного ничто и страхом бесконечности нет особой разницы. По сути, это две стороны одной и той же монеты, хотя бесконечность обычно представляется более пугающей, поскольку она в некотором смысле ближе к нам. Мы не можем представить, что пространство, в котором мы живем, является конечным. Когда кто-то пытается представить, что наше пространство конечно, сразу возникает вопрос: «А что находится за его пределами?» Ответом не может быть: «Ничто». Там должно находиться другое пространство, пусть и пустое. Ответ на этот вопрос прост. Мы не знаем, что такое «ничто», а бесконечность, порой воображаемая, нас окружает постоянно, переставая быть просто понятием или концепцией. Присутствие бесконечности и сопутствующих ей вопросов во всех культурах ясно говорит о том, что, нравится нам это или нет, она является частью нашей природы, как жизнь, смерть или время.

Согласно Аристотелю, бесконечного пространства не существует. Он считал, что бесконечное пространство может быть занято только бесконечно большим предметом, которого не существует. Этот мраморный бюст Аристотеля является римской копией с греческого оригинала, выполненного в бронзе Лисиппом в 330 г. до н. э.

Предположим, что мы проводим на полу прямую линию так, что если мы сделаем шаг вперед, то перешагнем ее. Это потенциально возможное действие. Совершив его и оказавшись по другую сторону линии, мы сделали этот потенциал актуальным.

Существует четкая разница между потенциально возможным действием и действием совершенным. Например, может случиться так, что я захочу перешагнуть линию, но произойдет землетрясение и в полу образуется огромный разлом, который не позволит мне сделать этот шаг.

Мы говорим, что последовательность натуральных чисел 1, 2, 3, 4, … является бесконечной. Изначально это никто не подвергает сомнению, поскольку для любого числа n мы всегда можем получить следующее число n + 1, сколь бы велико ни было n . Однако одно дело — иметь возможность выполнить подобное действие, и совсем другое — совершить его в реальности и получить результат. Это очень тонкое различие. Возможность совершить действие определяет потенциальную бесконечность, а результат такого действия — актуальную бесконечность. Слова, обозначающие два различных типа бесконечности, не совсем удачны или, по меньшей мере, не до конца понятны. Возможно, более уместно (но также не совсем удобно) было бы называть потенциальную бесконечность теоретической, а актуальную — истинной бесконечностью.