Энрике Грасиан - Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

В 1963 году американский математик Пол Джозеф Коэн(1934–2007) , основываясь на результатах о непротиворечивости аксиом, полученных Гёделем, доказал, что континуум-гипотеза может быть истинной или ложной в зависимости от выбранной системы аксиом, использованной для построения теории множеств. Таким образом, сложилась та же ситуация, что и со знаменитым пятым постулатом Евклида о параллельности прямых («в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной»): в зависимости от выбранной геометрии этот постулат либо выполняется (в геометрии Евклида), либо нет (в геометрии Лобачевского).

Несмотря на это некоторые до сих пор считают, что вопрос о доказательстве континуум-гипотезы окончательно не решен, так как ситуацию может изменить новая система аксиом, на которой будет выстроена теория множеств. Более того, пока не появится новая система аксиом, мы не можем гарантировать, что ясно представляем себе, что такое вещественное число.

Американский математик Пол Джозеф Коэнв 1963 году доказал, что континуум-гипотеза недоказуема в системе аксиом теории множеств, решив тем самым одну из важнейших открытых задач математики.

Когда люди открывают новые земли, которые предстоит нанести на карты и описать в книгах, они платят за это свою цену, ведь ничего не дается даром. Некоторые благодаря своим открытиям обретают славу и известность, а другие умирают в абсолютном забвении, так и не узнав, какую важную роль они сыграли.

Георг Кантор родился в Санкт-Петербурге 3 марта 1845 года. Его отец, Георг-Вольдемар Кантор, датчанин по происхождению, переехал в Санкт-Петербург еще ребенком. Во взрослые годы он основал процветающее предприятие по торговле импортными тканями. Несколько лет спустя он оставил дело и стал биржевым маклером. Георг-Вольдемар Кантор, глубоко религиозный человек, заработал значительное состояние благодаря терпению, знаниям и самоотречению. Эти же качества он прививал детям, которых воспитывал в духе лютеранской морали. Его женой стала Марианна Бойм, католичка русского происхождения, дочь дирижера в оркестре Санкт-Петербургской оперы. Георг-Вольдемар Кантор также происходил из семьи с крепкими музыкальными традициями, поэтому неудивительно, что они с женой отводили важное место обучению детей музыке.

Георг Кантор был старшим из четырех детей. В ранние годы он обучался на дому, а в 1856 году поступил в начальную школу в Санкт-Петербурге. Детство в России он всегда называл самым счастливым периодом в жизни.

В 1856 году, после перенесенного воспаления легких, отец Кантора был вынужден оставить Россию с ее суровым климатом и переехать с семьей в Германию. Ненадолго остановившись в Висбадене, семья в итоге обосновалась во Франкфурте. В 1860 году Георг окончил реальное училище в Дармштадте — небольшом городке близ Франкфурта. В это время он уже проявлял исключительные способности к математике, особенно к тригонометрии. Однако его отец не представлял, какую работу в будущем сможет найти математик, поэтому предложил сыну изучить инженерное дело. Кантор, как всегда, последовал совету отца и в 15 лет поступил в училище в Висбадене.

Георг Кантор, создатель теории множеств, считается одним из наиболее выдающихся математиков в истории.

Отец часто писал Кантору, стремясь воспитать в сыне моральную твердость, основанную на религиозных принципах. Среди переписки очень выделяется письмо от 25 мая 1862 года, в котором он, помимо прочего, пишет:

«[…] Часто наиболее многообещающие личности сдаются, столкнувшись с незначительными трудностями, возникающими при решении практических вопросов. Они оказываются абсолютно сломленными и в лучшем случае переживают серьезное потрясение… Поверь мне, дорогой сын: твоим самым близким, верным и опытным другом, который должен жить в тебе и укреплять твое сердце, должен быть дух истинной веры… Чтобы предупредить все возможные проблемы и трудности, которые неизбежно возникнут по причине зависти и злословия тайных и явных недоброжелателей, вызванных стремлением к успеху в нашем деле или торговле, чтобы успешно справиться с ними, тебе прежде всего потребуется обрести как можно больше знаний и умений… Закончу письмо такими словами: твой отец, вернее твои родители и все остальные члены нашей семьи и в Германии, и в России, и в Дании смотрят на тебя как на старшего сына и ожидают, что твоя звезда ярко засияет на небосводе науки. Да дарует тебе Господь здоровья, сил, твердости характера и да пребудет с тобой его благословение. Неизменно следуй Его путем. Аминь!»

В этом письме Георг-Вольдемар Кантор во многом предугадал дальнейший жизненный путь сына. Вне сомнений, он был достаточно умным человеком и понимал, что его увлеченный математикой сын отличается беспокойной и творческой натурой.

Отец хотел подготовить юношу к возможным трудностям, с которыми тому предстояло столкнуться. И в том же году он разрешает сыну начать заниматься математикой. В ответ будущий ученый с благодарностью пишет:

«Дорогой отец, представьте себе, с каким удовольствием я прочел ваше письмо. Оно определило мое будущее… Теперь я счастлив, поскольку вижу, что вам придется по душе, если я последую своему желанию. Ожидаю, что вы, дорогой отец, найдете удовольствие в моем поведении, так как моя душа и все мое существо живет в моем призвании. То, что хочет совершить человек и к чему его толкает его внутреннее стремление, обязательно исполнится».

Кантор, как и всякий юноша, которому семейство разрешило заниматься любимым делом, чувствовал по отношению к родным глубокую благодарность. Некоторые биографы сходятся на том, что безоговорочное подчинение Кантора отцу стало одной из важнейших причин, по которой ученый всегда очень неуверенно чувствовал себя в университетских кругах.

В 1862 году он начал изучать математику, философию и физику в университете Цюриха, однако его обучение было недолгим: после смерти отца в июне 1863 года Кантор перевелся в Берлинский университет. Интересно, что после этого он ни разу не упоминал об отце.

До начала XIX века центром математики была Франция, однако в годы юношества Кантора она уступила место Германии. Учителями Кантора были Кронекер, Куммер и Вейерштрасс. Кронекер, обучивший его азам теории чисел, впоследствии стал и самым суровым критиком идей ученого, но наибольшее влияние на Кантора оказал Вейерштрасс.