Иоланда Гевара - Том 38. Измерение мира. Календари, меры длины и математика

Некоторые расстояния от Солнца.

Небесное тело · Примерное расстояние

Венера · Менее 0,68 а.е.

Земля · 1 а.е. = 8,32 световых минуты

Юпитер · Более 5,2 а.е.

Плутон · 39,5 а.е.

Центр Млечного Пути ·8500 пк = 30 000 световых лет = 1753 миллиона а.е.

Некоторые расстояния от Земли.

Небесное тело · Расстояние · Характеристика

Луна · 0,0026 а.е. · Единственный естественный спутник Земли

Проксима Центавра ·4,2 световых года = 270 000 а.е. · Ближайшая к Земле звезда

Звезда Сириус ·8,6 световых года = 540 000 а.е. ·Первый восход Сириуса над горизонтом перед рассветом, наблюдавшийся после долгого периода невидимости, знаменовал начало года в Древнем Египте

Галактика Андромеды (М31) ·2,56 миллиона световых лет = 775 кпк ·Наиболее удаленный от Земли объект, видимый невооруженным глазом

* * *

Спрямление

Исторически под спрямлением понималось построение прямой, длина которой равна длине данной кривой. Графическая интерпретация этого понятия, на основе которой определяется метод приближенного вычисления длины, может выглядеть так: разделим кривую на последовательность прямолинейных участков как можно меньшего размера, после чего найдем сумму их длин.

Разделение кривой на прямолинейные отрезки.

Похожий метод использовал некий преподаватель средней школы, когда объяснял ученикам, как измерить длину морского побережья. Он объяснял: «Чтобы произвести измерения, необходима карта побережья в масштабе, достаточно длинная нить и линейка. Нужно смочить нитку водой и проложить ее вдоль всего побережья на карте. Теперь достаточно вытянуть нить и измерить ее длину с помощью линейки.

Масштаб карты укажет, как следует пересчитать размер и найти искомую длину». С древних времен одной из самых известных задач подобного рода была задача о спрямлении окружности. Древнеегипетские математики верно определили формулу расчета длины окружности, согласно которой отношение площади круга к длине его окружности равно отношению площади квадрата, в который вписана окружность, к его периметру. Это соотношение выполняется в точности и равно r /2, где r — радиус окружности, но значение π , которое использовали египтяне, было приближенным (3,16 или 3 и 1/6).

Спрямление, квадратура и возведение в куб также описываются в классическом древнекитайском трактате о математике «Цзю чжан суань шу», или «Математика в девяти книгах», написанном в I веке. В первой книге, озаглавленной «Измерение полей», приведены расчеты значения π методом исчерпывания: в окружность вписывается шестиугольник, после чего его периметр сравнивается с длиной окружности; так получается значение π = 3. Далее проводятся аналогичные действия с многоугольниками, имеющими 12, 24, 48 и 96 сторон, и рассчитывается значение π = 3,1410240.

В древнеиндийской математике спрямление также рассматривалось для вычисления длины окружности. Ариабхата в главе II своей книги «Ариабхатия» (ок. 500 г.) приводит приближенное значение π = 3,1416. Он вычислил периметр правильного 384-угольника, вписанного в окружность, применив метод исчерпывания, аналогичный приведенному в китайском трактате «Математика в девяти книгах», но выполнил еще два шага: он также начал с шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384), пока не получил 384-угольник.

* * *

КРОЛИК ПЕРЕСЕКАЕТ МЕРИДИАН

Приведем любопытную задачу об окружности и ее радиусе, которая отличается необычной формулировкой и, кроме того, послужит продолжением нашей истории о дуге меридиана. Напомним, что длина земного меридиана равна примерно 40000 км. Если представить, что Земля имеет форму идеальной сферы, то длина веревки, полностью опоясывающей Землю вдоль меридиана, составит эти же 40000 км. Если мы удлиним эту веревку на 1 метр, сможет ли кролик проползти под ней? Хотя 1 метр по сравнению с 40000 км может показаться ничтожной величиной, ответ на этот вопрос будет положительным. Удивительнее всего, что если мы увеличим длину окружности на 1 метр, ее радиус всегда будет увеличиваться на одну и ту же величину вне зависимости от радиуса исходной окружности. Подтвердить это помогут несложные расчеты.

Пусть r 1— радиус исходной окружности. Длина окружности будет равна L 1 = 2 πr 1. Если мы увеличим длину окружности на 1 метр, она будет равна L 2 = 2 πr 1+ 1. Радиус полученной окружности будет равен r 2= (2 πr 1+ 1)/2 π, то есть r 2= r 1+ 1/2 π

Нетрудно видеть, что при увеличении длины исходной окружности на 1 м ее радиус всегда будет возрастать на 1/2 πм вне зависимости от размеров исходной окружности. Вернемся к на шей задаче и выразим эту величину в сантиметрах. Получим 100/2 π см = 15,91549431 см. Этого расстояния будет достаточно, чтобы кролик смог проползти под веревкой.

* * *

С древних времен в самых разных культурах предпринимались попытки выполнить приближение кривых прямолинейными отрезками равной длины при помощи различных методов. Даже в XVII веке еще проводились конкурсы по определению длин дуг некоторых кривых, в частности спирали Архимеда, цепной линии или циклоиды. Расчеты проводились геометрическими методами. Последний шаг к решению задач такого типа был сделан в конце XVII века с появлением дифференциального исчисления. В дифференциальном исчислении длина дуги рассчитывается по формуле

где f( x ) — функция, длину графика которой требуется найти, f'( x ) — ее производная, причем обе этих функции непрерывны на отрезке [ а, Ь ]. S будет длиной дуги, ограниченной а и Ь .

При доказательстве этой формулы используется прежняя идея: кривая представляется в виде последовательности прямолинейных отрезков, после чего для каждого из них применяется теорема Пифагора. Длина каждого отрезка будет равна

Δs = √( Δх 2+ Δу 2)

Дуга кривой и отрезок Δs— гипотенуза треугольника с катетами Δхи Δу.

Приближенное значение S рассчитывается как сумма гипотенуз:

Чем меньше будет длина этих n отрезков, тем точнее будет полученный результат. В пределе все Δх i будут стремиться с нулю, и, согласно определению определенного интеграла, на отрезке между а и Ь мы получим приведенную выше формулу: