Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

* * *

АРАБСКАЯ ЗАДАЧА О ЖЕМЧУЖИНАХ

Мальба Тахан (этот псевдоним носил Жулио Сезар де Мелло и Соуза) в своей книге «Человек, который считал», изданной в 1949 году, предлагает очень красивую задачу. «Некий раджа оставил дочерям некоторое число жемчужин и повелел разделить их так: старшей дочери полагалась одна жемчужина и одна седьмая часть оставшихся, второй — две жемчужины и седьмая часть оставшихся, третьей — три жемчужины и одна седьмая часть оставшихся, и так далее для всех остальных дочерей. Младшие дочери обратились к судье, заявив, что этот способ совершенно несправедлив по отношению к ним. Судья славился умением решать задачи и быстро ответил, что просительницы ошибаются и что распределение, предложенное раджой, совершенно справедливо и честно. Судья был прав. После того как были поделены все жемчужины, оказалось, что каждой из дочерей досталось одинаковое число жемчужин. Сколько же было жемчужин и сколько дочерей было у раджи?»

Решение очень простое: жемчужин было 36, дочерей — 6. Первой дочери досталась одна жемчужина и одна седьмая от оставшихся 35, то есть 5. Получается, всего ей полагалось 6 жемчужин, осталось 30. Второй дочери досталось 2 жемчужины и седьмая часть от 28 оставшихся, то есть 4. Она получила 6 жемчужин, осталось 24. Третьей досталось 3 жемчужины и одна седьмая от 21 оставшейся, то есть еще 3, осталось 18. Четвертой досталось 4 из этих 18 и еще седьмая часть от 14, то есть 2. Следовательно, на ее долю также пришлось 6 жемчужин. Пятой дочери досталось 5 из оставшихся двенадцати и одна седьмая от 7 жемчужин, то есть 1, а всего 6. Младшей дочери достались 6 оставшихся жемчужин. Здесь красота задачи сочетается с красотой ее решения. Наследство в 36 драгоценных жемчужин досталось 6 прекрасным девушкам, 6 — совершенное число, а 36 — квадрат совершенного числа.

Графическое представление арабской задачи о жемчужинах

(источник: Мальба Тахан. Человек, который считал).

* * *

О жизни Диофанта практически ничего не известно. В точности неизвестны даже годы его жизни. Однако до нас дошли несколько дат. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла, давая определение фигурных чисел, следовательно, его труд был написан позднее 150 года до н. э. С другой стороны, Теон Александрийский, отец Гипатии, приводит в своих трудах одно из определений Диофанта, откуда следует, что «Арифметика» было написана до 350 года н. э. Следовательно, мы можем лишь утверждать, что даты рождения и смерти Диофанта находятся в границах этого периода длиной в 500 лет.

Точнее определить годы жизни Диофанта помогает письмо византийского автора XI века Михаила Пселла. В переводе с греческого письмо звучит так: «Диофант управлялся с ней (египетской арифметикой. — Примеч. автора) более умело, но образованный Анатолий объединил важнейшие части доктрины Диофанта, которую тот изложил разрозненно и сжато, и посвятил свой труд Диофанту». Пол Таннери опубликовал это письмо в одном из своих исследований и предположил, что Пселл ссылается на комментарий о Диофанте, источник которого был утерян. Возможно, он был написан Гипатией. Упоминаемый в письме Анатолий был епископом Лаодикеи, писателем и знатоком математики и жил в III веке н. э. Следовательно, можно предполагать, что Диофант написал «Арифметику» примерно в 250 году н. э. Однако не все исследователи согласны с этим переводом, поэтому предложенную дату нельзя считать окончательной.

Обложка книги «Арифметика» Диофанта, напечатанной в Базеле в 1575 году.

Как и в случае с Ферма, точный возраст Диофанта можно определить по его эпитафии. Она содержится в «Греческой антологии», составленной Метродором примерно в 500 году и. э. Одна задача из этого собрания посвящена автору «Арифметики»:

(Перевод С.П. Боброва)

Если мы обозначим возраст Диофанта за х , то его детство длилось х /6 лет, он женился по прошествии х /7 лет, его борода росла х /12 лет. Его сын родился 5 лет спустя и прожил х /2 лет. Отец умер 4 года спустя после смерти сына. Получим:

х = х /6 + х /7 + х/12 + 5 + х /2 + 4.

Умножив обе части равенства на 84, получим:

84 х = 84· х /6 + 84· х /7 + 84· х /12 + 84·5 + 84· х /2 + 84·4.

Упростим равенство:

84 х = 14 х + 12 х + 7 х + 420 + 42 х + 336.

Перенеся все члены с х в одну часть, получим:

84 х — 14 х — 12 х — 7 х — 42 х = 420 + 336.

Отсюда 9 х = 776, следовательно, х= 156/9 = 84. Таким образом, Диофант женился в 26 лет, сын родился, когда ему было 38 лет. Сын прожил 42 года — в два раза меньше, чем отец. Однако нам неизвестно, является эта задача полностью вымышленной или же, напротив, она основана на реальных событиях жизни математика.

* * *

КНИГИ «АРИФМЕТИКИ» ДИОФАНТА

«Арифметика» Диофанта состоит из 13 книг на греческом языке, из которых до нас дошли шесть. Кроме этого, в 1972 году обнаружилась арабская рукопись, включающая еще четыре книги, по содержанию не совпадающие с книгами, дошедшими до нас на греческом. В них описывается ряд задач по нахождению рациональных решений алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Шесть книг на греческом содержат 189 задач. Они распределяются так:

Книга I: приведены 25 задач для уравнений первой степени и 14 — для второй степени.

Книга II состоит из 35 задач. Задача под номером 8, несомненно, самая известная из всех, так как именно она навела Ферма на мысль о его теореме.

Книга III содержит 21 задачу. Наиболее известной является 19-я, в которой впервые применяется геометрический метод решения.

Книга IV содержит 40 задач, в большинстве из них речь идет о кубах чисел.

Книга V содержит 30 задач. В 28 из них идет речь об уравнениях второй и третьей степени. Последняя, 30-я задача — это задача о смесях.

Книга VI содержит 24 задачи. Они посвящены поиску прямоугольных треугольников с рациональными сторонами.