Альберт Виолант-и-Хольц - Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

(4 х + 3) 2 + х = (4 х — 4) 2.

Раскрыв скобки, получим:

16 х 2+ 24 х + 9 + x = 16 х 2— 32 х + 16.

Сократив 16 х 2, имеем:

24 х + 9 + х = —32 х + 16.

Перенесем все члены с х в одну часть и получим:

24 х + х + 32 х = 16 — 9 —> 57 х = 7 —> х = 7/37.

Мы нашли первое из искомых чисел. Теперь нетрудно найти второе число, равное 2 х + 1 = 71/57, и третье, равное 4 х + 3 = 199/57. Наконец, легко показать, что

(7/57) 2+ 71/57 = 4096/3249 = (64/57) 2(первое условие);

(71/57) 2 + 199/57 = 16384/3249 = (128/57) 2(второе условие);

(199/57) 2+ 7/57 = 40000/3249 = (200/57) 2(третье условие).

Особенности задачи

На примере этой задачи мы можем оценить всю красоту стиля Диофанта, которым, должно быть, восторгался и Ферма. Эта задача красива, но явно непрактична. Кому может быть интересно решить ее? Она не нужна, чтобы подсчитать урожай, измерить землю или узнать расположение звезд. Она лишь показывает одно из свойств рациональных чисел. Интерес этой задачи заключен в музыке чисел, в беспрестанных попытках понять их внутреннюю гармонию и ритм. Однако чтобы решить ее, требуется весь математический аппарат и все доступные средства. Так, именно размышления об «Арифметике» навели Виета на мысль о создании основ алгебраической нотации, которая используется и сейчас. Он пытался сделать труд Диофанта понятнее читателю и найти средство для решения все более сложных задач. Ферма, вдохновленный «Арифметикой», сформулировал новые задачи и нашел новые способы доказательства, которые снова вызвали интерес к теории чисел, ставшей со временем одним из самых многообещающих разделов математики. Простые числа, которые в свое время интересовали древних греков, сегодня используются в сложнейших системах шифрования информации и моделирования Вселенной.

С другой стороны, решенная задача имеет чисто арифметический смысл. Если бы задача имела геометрический смысл, то сложение числа, возведенного в квадрат, с другим числом было бы равносильно сложению площади и длины — величин разных порядков. Теорема Пифагора — совершенно иной случай: она гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, то есть площадь двух квадратов, построенных на катетах, равна площади большого квадрата, построенного на гипотенузе. В этом равенстве все величины имеют один порядок. В теореме Ферма все степени также имеют одинаковые показатели: х n + у n = z n . При n = 3 можно представить, что мы складываем объемы кубов и получаем объем третьего, большего куба. Для больших степеней речь будет идти уже о многомерных фигурах в многомерных пространствах.

Параллельные рассуждения

Эта задача также характеризуется тем, что ее решение нетривиально. Его сложно найти случайно. Подобным свойством обладают и многие другие задачи из «Арифметики». Кроме этого, Диофант довольствовался одним частным решением и не стремился решить задачу в общем виде, чтобы найти все возможные решения. Несмотря на это, его результаты открывают возможность провести параллельные рассуждения, с помощью которых можно найти новые решения, не упоминаемые в книге.

Например, если вместо последнего условия 4 х — 4 мы используем 4 х — 5, то получим другое, полностью корректное решение:

(4 х + 3) 2+ х = (4 х — 5) 2—>

16 х 2+ 24 х + 9 + х = 16 х 2— 40 х + 25 —>

24 х + 9 + х = — 40 х + 25 —>

24 х + х + 40х = 25 — 9 —>

65 х = 16 —>

х = 16/65.

Мы получили еще одно решение: 16/65, 97/65, 259/65.

Если вместо последнего условия 4 х — 4 мы используем 5 х — 3, то получим еще одно корректное решение:

(4 х + З) 2+ х = (5 х — 3) 2—>

16 х 2+ 24 х + 9 + х = 25 х 2— 30 х + 9.

Сократив девятки в обеих частях равенства, получим:

16 х 2+ 24 х + х = 25 х 2— 30 х .

Поделив обе части на х, имеем:

16 х + 24 + 1 = 25 х 30 —>

24 + 1 + 30 = 25 х — 16 х —>

55 = 9 х —>

х = 55/9.

Мы получили еще одно решение: 55/9, 119/9, 247/9. Теперь нам открываются новые задачи. Например, существуют ли целые решения, которые удовлетворяют этим условиям?

Задача 29 из книги IV

Еще одна, также очень известная задача из «Арифметики» — это задача 29 из книги IV. Она звучит так:

«Найти четыре квадрата, сумма которых, увеличенная на сумму их сторон, будет равна данному числу».

И снова мы видим всю гениальность Диофанта:

«Пусть дано число 12. х 2 + х + 1/4 — квадрат. Следовательно, сумма четырех квадратов + сумма их сторон + 1 = сумма других четырех квадратов = 13. Следовательно, нужно разделить 13 на четыре квадрата, и, если мы вычтем 1/2 из всех его сторон, получим стороны искомых квадратов.

Имеем 13 = 4 + 9 = (64/23 + 36/25) + (144/25 + 81/25), и стороны искомых квадратов равны 11/10, 7/10, 19/10, 13/10. Их квадраты соответственно равны 121/100, 49/100, 361/100, 169/100».

Рассуждения полностью корректны для частного случая n = 12. Эту задачу в современной форме записи можно представить так:

«Найти x 1, х 2, х 3, х 4 такие, что

х 1 2+ х 2 2+ х 3 2+ х 4 2+ х 1 + х 2 + х 3 + х 4 = n ,

где n — данное число».

Прибавив 1 к обеим частям равенства, получим

х 1 2+ х 2 2+ х 3 2+ х 4 2+ х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4 = n + 1.

Переупорядочив слагаемые и предположив, что n = 12, имеем

х 1 2+ х 1 + 1/4 + х 2 2+ х 2 + 1/4 + х 3 2+ х 3 + 1/4 + x 4 2+ х 4 + 1/4 = 12 + 1.

Принимая во внимание, что х 2 + х + 1/4 = ( х + 1/2) 2, можно записать следующее:

( x 1 + 1/2) 2+ ( х 2 + 1/2) 2+ ( х 3 + 1/2) 2+ ( х 4 + 1/2) 2 = 13.

Осталось лишь представить 13 в виде суммы четырех квадратов. В данном конкретном случае нетрудно заметить, что 13 является суммой двух квадратов, 4 и 9. Используя теорему Пифагора, нетрудно выразить каждое из этих чисел в виде суммы двух квадратов, как делает сам Диофант в других задачах «Арифметики».

Числа 4, 3, 5 образуют пифагорову тройку: 4 2+ 3 2= 5 2. Поделив обе части равенства на 5 2, получим (4/5) 2+ (3/5) 2= 1. Теперь, если мы умножим обе части равенства на 2 2, получим (8/5) 2+ (6/5) 2= 2 2, то есть (64/25) + (36/25) — 4. Если умножить обе части равенства на З 2, получим (12/5) 2+ (9/5) 2= З 2, то есть (144/25) + (81/25) = 9 — именно такое разложение и предлагает Диофант. Таким образом, решение найдено:

( х 1 + 1/2) = 8/5,

( x 2 + 1/2) = 6/5,

( x 3 + 1/2) = 12/5,

( x 4 + 1/2) = 9/5.

Вычтем 1/2 из обеих частей каждого равенства и получим ответ, предлагаемый Диофантом. Удивительно, но 13 = 1 + 4 + 4 + 4, то есть представить 13 в виде суммы четырех квадратов можно было намного проще! Подобное разложение дает следующее решение: 1/2, 3/2, 3/2, 3/2.

Загадочное примечание

Баше заметил, что в этой и других задачах «Арифметики» Диофант пользовался тем, что любое число можно представить в виде суммы четырех квадратов. Он проверил эту закономерность для всех чисел до 325, но ему хотелось найти строгое доказательство. Здесь в дело вступил гений Ферма: « Я первым открыл замечательную теорему, которая гласит: всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трех треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трех или четырех квадратных чисел; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее до бесконечности для шестиугольников, семиугольников и любых других многоугольников, изменяя формулировку этой удивительной теоремы в соответствии с числом углов».