Пере Грима - Том13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

* * *

Мы вычислили вероятность того, что сначала выпадет три решки ( Р ), затем два орла ( О ) в таком порядке: РРРОО . Но нам нужно вычислить вероятность выпадания трех решек и двух орлов в произвольном порядке, иными словами, вероятность того, что выпадет последовательность РРРОО , или ООРРР , или РОРОР или любой из вариантов.

Искомая вероятность будет равна сумме вероятностей каждого из этих исходов. Вероятности будут складываться по правилу «или», так как эти события являются независимыми (орел и решка не могут выпасть в одном и в другом порядке одновременно). Так как вероятность выпадения каждого из этих исходов одинакова, мы можем умножить вероятность выпадения орлов и решек в заданном порядке на число возможных вариантов (и здесь нам не обойтись без помощи комбинаторики).

Данные n предметов можно упорядочить п\ разными способами. Например, если у нас есть 5 книг и 5 мест на полке, первую книгу можно поставить на любое из пяти возможных мест, вторую — на любое из оставшихся четырех, третью — на любое из трех, четвертую — на любое из двух, а для пятой книги останется только одно место. Таким образом, общее число различных вариантов равно 5·4·3·2·1 = 120. В нашем случае также даны 5 «предметов», но не все они отличаются между собой: у нас есть три предмета, одинаковых между собой, и еще два, одинаковых между собой, поэтому мы можем не учитывать перестановки одинаковых предметов. То есть нам нужно разделить общее число вариантов на 3! и 2!. Общее число исходов, при которых выпадет 3 решки и 2 орла, равно

5!/(3!·2!) = 10

Теперь у нас есть все данные, необходимые для вычисления искомой вероятности. Она равна

Зачем нам знать вероятность того, что при пяти бросках монеты в произвольном порядке три раза выпадет решка? Эта задача сама по себе не представляет большого интереса, но далее мы покажем, что аналогичным способом можно решить много других, очень интересных задач.

29 апреля 2004 года некий читатель обратился в редакцию популярной газеты с вопросом: «Я использовал Excel , чтобы сгенерировать случайные числа с помощью функции «=СЛЧИС ()», но эти числа всегда очень маленькие и почти равны нулю. Мне нужна система, чтобы сгенерировать шесть чисел, не превышающих 49, для простой лотереи». По-видимому, читатель думал, что если число является случайным, то оно не подчиняется никаким правилам. Это не совсем так. Существует несколько видов случайных величин. Они делятся на непрерывные, например вес, длина, плотность и так далее, и дискретные (принимающие одно из множества отдельных значений), например число неисправных деталей в партии, количество автомобилей, приезжающих на заправку ежеминутно, и другие. В действительности существует целый «каталог» различных видов распределения вероятностей. Всякий раз, когда мы имеем дело со случайной величиной, следует определить, не подчиняется ли она какому-то конкретному закону распределения вероятностей. В большинстве случаев это действительно так, и нам не потребуется выводить формулы для расчета вероятностей, среднего значения и других интересных параметров: это уже сделали до нас.

Сначала может показаться, что отличить случайные величины от неслучайных непросто, подобно тому как человеку, не знакомому с музыкой, сложно разобраться в разных музыкальных направлениях. Однако несколько практических примеров помогут вам научиться с легкостью их распознавать. Далее мы расскажем о некоторых свойствах и примерах использования трех наиболее известных законов распределения вероятностей.

То, что нам уже знакомо: биномиальное распределение С помощью общих правил вычисления вероятностей мы смогли установить вероятность выпадения 3 решек и 2 орлов (в произвольном порядке) при 5 бросках монеты с помощью следующего выражения:

В целом число успешных исходов при выполнении n опытов (вероятность успешного исхода неизменна и равна р ) — это случайная величина, которая подчиняется очень известному закону распределения вероятностей. Это распределение называется биномиальным. Если мы сталкиваемся с этим распределением, нам не нужно выводить новые формулы для вычисления вероятностей.

* * *

ОДНА ОЧЕНЬ ПОЛЕЗНАЯ ФОРМУЛА

Если мы отойдем от конкретных чисел и попытаемся вычислить вероятность выпадения хрешек при nбросках, где р — вероятность выпадения решки, (1 — р) — вероятность выпадения орла, мы получим следующую формулу:

Интересно, что ее можно использовать не только для решения задач о броске монеты, но и для любых задач, которые подчиняются нижеприведенной схеме:

* * *

Рассмотрим три задачи.

1. При производстве на конвейере выпускается 1 % бракованных деталей. Если детали упаковываются в коробки по 50 деталей, какова вероятность того, что в одной коробке окажутся сразу две бракованные детали?

2. Баскетболист забивает 75 % штрафных бросков. Какова вероятность того, что он попадет 8 раз из 10?

3. В семье четверо детей. Какова вероятность того, что ровно двое из них — мальчики?

Что общего у этих задач? Все они следуют описанному нами сценарию, следовательно, их очень легко решить.

Расчеты можно произвести с помощью электронных таблиц. В Excel ответ можно найти, используя следующую функцию:

Последняя переменная, которая следует за вероятностью успеха, указывает, хотим ли мы вычислить только вероятность для указанного числа успешных событий (например, ровно 2 бракованные детали; в этом случае эта переменная равна 0) или же накопленную вероятность (число бракованных деталей равно 2 и менее, в таком случае этой переменной нужно присвоить значение 1).

В задаче про игрока в баскетбол мы предполагаем, что вероятность попадания со штрафного броска постоянна, то есть не зависит от давления зрителей, нервов или хода игры (одно из преимуществ хорошего игрока — сохранять процент попаданий неизменным вне зависимости от этих условий). Многие думают, что в задаче о сыновьях и дочерях наиболее вероятно, что в семье два мальчика и две девочки, однако вероятность этого исхода равна всего 38 %. Наиболее вероятным (62 %) является любое другое сочетание.