Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

* * *

КАРТЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ НА МЕККУ

Мусульмане должны молиться пять раз в день, обратившись в сторону Каабы — священного куба, расположенного в Мекке и символизирующего дом Бога. Мечети также должны располагаться соответствующим образом. Но как мусульманин или строитель мечети в любой точке мира может узнать, в каком направлении находится Мекка? Можно построить карту в стереографической проекции, в центре которой будет изображена Мекка. Так как эта проекция является азимутальной и конформной, на карте можно будет провести прямую между мечетью и Меккой, затем вычислить угол между этой прямой и меридианом. До начала молитвы мусульманин должен будет встать лицом к северу, а затем повернуться на этот угол. Один из недостатков карты заключается в том, что меридианы изображены кривыми линиями, а это усложняет вычисление угла.

Возможен и другой вариант: можно рассмотреть ретроазимутальные проекции, то есть проекции, сохраняющие направление из любой точки Земли в фиксированную точку (но не наоборот, как в случае с азимутальными проекциями). В ретроазимутальной проекции, предложенной британским картографом Джеймсом Крейгом в 1910 году, меридианы изображаются параллельными равномерно распределенными прямыми. Карта в этой проекции, в центре которой будет изображена Мекка, прекрасно подойдет для определения киблы — направления на Мекку.

* * *

Искажения, вызываемые этим классом проекций (искажения геодезических линий, площадей, углов и форм), вблизи точки касания (или вблизи круга, образованного сечением сферы плоскостью) малы и увеличиваются по мере удаления от нее. При этом изображение близко к виду Земли из космоса. Классические геометрические проекции этого класса — ортографическая, гномоническая и стереографическая проекции. Другими, более сложными, являются азимутальная равнопромежуточная и равновеликая азимутальная проекция Ламберта. Такие карты используются в океанографии, на кораблях дальнего плавания, в туризме и в военном деле, так как в их центре изображается конкретное место, а геодезические линии, проходящие через него, сохраняются. Искажения на этих картах слишком велики, чтобы их можно было использовать в качестве обычных географических карт.

Учитывая вышесказанное, чтобы изобразить сетку меридианов и параллелей на карте, выполненной в полярной азимутальной проекции, нужно определить центр проекции (Северный или Южный полюс), провести ряд равномерно распределенных прямых, проходящих через центр карты, которые будут соответствовать меридианам, а затем изобразить ряд концентрических окружностей, которые будут обозначать параллели. Следовательно, необходимо определить, на каком расстоянии друг от друга должны располагаться эти окружности. Мы можем вычислить это расстояние, например, для гномонической проекции.

Выберем в качестве точки отсчета Южный полюс. Для данной точки А широтой φ и ее отображения А' определены два подобных прямоугольных треугольника, как показано на рисунке выше. Длины катетов малого треугольника таковы (напоминаем, что здесь φ принимает отрицательные значения):

Длины катетов большого треугольника равны R и r( φ ) — расстояние от точки А' до центра. По теореме Фалеса имеем:

откуда

Следовательно, теперь мы можем изобразить сетку меридианов и параллелей центральной проекции.

Как мы уже отмечали, центральная проекция не подходит для составления карт мира, но часто используется при составлении карт полярных регионов. Чтобы изобразить на такой карте весь мир, потребовалась бы двойная круговая карта, на каждой половине которой было бы представлено по одному полушарию. Однако изобразить на каждой половине карты полушарие целиком невозможно. Более того, по мере удаления от центра карты и увеличения охватываемой территории искажения расстояний, площадей и форм растут — это заметно на любой карте, выполненной в гномонической проекции. Однако для углового расстояния менее 30°, считая от точки касания, карта в этой проекции будет достаточно точной.

Несмотря на вышесказанное, гномоническая проекция неоднократно использовалась при составлении карт больших участков земной поверхности. Например, в 1844 году Обществом распространения полезных знаний Великобритании (SDUK) был опубликован атлас карт в двух томах. Планировалось, что этот недорогой атлас будет использоваться в образовательных целях. В издании гномоническая проекция применялась при составлении карт звездного неба и в шести картах, охватывающих весь земной шар (Африка и Средиземноморье, Америка, Азия и часть Австралии, Океания и полюса). Эти шесть карт соответствовали шести граням куба, в который был вписан земной шар. Далее были построены проекции земного шара на грани этого куба с центром проекций в центр сферы. Другой пример атласа мира из шести карт, составленных аналогичным образом, был издан в Веймаре в 1803 году картографом Христианом Готтлибом Рейхардом(1758–1837). Сам математик Огастес де Морган в 1836 году опубликовал книгу с длинным и не требующим дополнительных пояснений названием «Объяснение гномонической проекции сферы и тех аспектов астрономии, что наиболее необходимы при использовании астрономических карт, и описание построения и использования больших и малых карт звездного неба, равно как и шести карт Земли».

Можно составить карту мира, спроецировав сферическую модель Земли на описанный вокруг нее куб с помощью гномонической проекции, а затем развернув этот куб на плоскости.

Как бы то ни было, важнейшее свойство гномонической проекции, которое делает ее незаменимой в навигации, заключается в сохранении геодезических линий, то есть ортодромы сферы на плоскости карты изображаются прямыми линиями. Если, например, капитану корабля или пилоту самолета потребуется определить кратчайший путь между двумя точками нашей планеты, ему достаточно будет взять карту, выполненную в гномонической проекции, и провести прямую, соединяющую выбранные точки. Морские карты в гномонической проекции можно увидеть в любом магазине и на любом интернет-сайте, посвященном навигационным картам.