Рауль Ибаньес - Том 26. Мечта об идеальной карте. Картография и математика

Построим проекцию этого диска на плоскость проекции Т в два этапа. На первом этапе диск D преобразуется в диск D' , который лежит в плоскости, параллельной D . Центром этого диска является точка А' — отображение точки А , полученное с помощью гномонической проекции. В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса), как вы можете видеть на следующем рисунке, радиус r' диска D' удовлетворяет соотношению

По правилам элементарной тригонометрии

sin φ = 1/| OA' |

Имеем:

Первый этап построения гномонической проекции.

Искомым отображением будет проекция диска D' на касательную плоскость Т — уже не диск, а эллипс. В направлении «запад — восток» диск D' пересекает плоскость Т , следовательно, проекция не изменит его размеров, и длина соответствующей полуоси эллипса будет равна уже вычисленному радиусу:

r' = r /sin φ

Итак, искажение вдоль параллели будет равно:

λ = 1/sin φ

Посмотрим, как изменится диск в направлении «север — юг», и рассчитаем искажение вдоль меридиана. Так как радиус r' очень мал по сравнению с расстоянием между А' и центром проекции О , угол А'ВС (см. след, рисунок) будет очень близок к прямому углу. Так как r достаточно мал, этот угол можно считать прямым. Как следствие, проекцией отрезка длиной r' , лежащего в направлении «север — юг», будет отрезок на плоскости Т длиной r" :

r" = r' /sin φ = r /sin 2 φ

согласно правилам элементарной тригонометрии. Искажение вдоль меридиана будет равно:

Второй этап построения гномонической проекции.

Как следствие, отображением D" окружности D радиуса r в центральной проекции будет эллипс, а длины его полуосей равны:

r' = r /sin φ и r" = r /sin 2 φ

Можно сделать вывод: центральная проекция не сохраняет площади, поскольку, как мы уже отмечали, искажение вдоль меридианов

μ = 1/sin 2 φ

должно быть обратным искажению вдоль параллелей

λ = 1/sin φ

Это соотношение не выполняется:

Гномоническая проекция также не сохраняет углы, поскольку искажение вдоль меридианов и параллелей отличается.

В зависимости от того, какая вспомогательная поверхность используется в проекции: плоскость, цилиндр или конус — геометрические проекции делятся на азимутальные, цилиндрические (о них мы рассказали в прошлой главе) и конические. Использование цилиндра и конуса обусловлено тем, что эти поверхности являются развертывающимися, то есть их можно развернуть на плоской поверхности без изменения метрических свойств.

Проекции делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от того, какая поверхность используется в качестве вспомогательной: плоскость, цилиндр или конус.

Помимо этих основных поверхностей, могут использовать и другие, необязательно развертывающиеся: так, в проекции «броненосец» (Эрвин Райш, 1943) сфера проецируется на поверхность тора (напомним, что тор — поверхность в форме бублика), после чего строится ее ортогональная проекция на плоскость.

Хотя алгоритмические проекции описываются математическими формулами и не имеют геометрической интерпретации, они, как правило, также делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости от своих свойств.

Но вернемся к азимутальным проекциям. Живительно, что они не называются просто «планарными» или «плоскими». Откуда взялось слово «азимутальный»?

Для данной точки А земной поверхности и других двух точек, В и С , азимут, взятый из точки В на точку С , — это угол, образованный кривыми наименьшей длины, соединяющими точки А и В и А и С . Этими кривыми наименьшей длины, как известно, будут дуги больших кругов сферы. Иными словами, азимут — это угол, на который наблюдатель, находящийся в точке А и смотрящий в точку В , должен повернуться, чтобы увидеть точку С , как показано на рисунке.

Понятие азимута возникло в астрономии и навигации и обозначает угол, или длину дуги математического горизонта, измеренный от точки севера (или точки юга) до вертикальной проекции небесного тела на горизонт наблюдателя. Следовательно, по своей сути азимутальные проекции — это проекции, сохраняющие азимут, взятый из фиксированной точки отсчета, которой является центр карты. Как следствие, эти проекции сохраняют направления до других произвольных точек, но необязательно сохраняют расстояния. Проекции, которые мы хотели назвать «планарными», называются азимутальными потому, что получаются путем прямой проекции на касательную плоскость земного шара (также можно рассмотреть вариант с секущей плоскостью).

Все азимутальные проекции, центры которых совпадают с Северным или Южным полюсом, обладают следующими свойствами.

1. Меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми (если рассматривается сетка меридианов, отстоящих друг от друга на равные углы), проходящими через центр карты.

2. Параллели изображаются концентрическими окружностями с центром в точке касания. Следовательно, различные азимутальные проекции определяются тем, как распределяются окружности параллелей.

Сравнение расположения параллелей в полярных разновидностях различных азимутальных проекций.

В этой проекции радиальные прямые, исходящие из центра карты, являются отображениями дуг больших кругов, проходящих через точку касания земного шара и плоскости. Однако в общем случае расстояния от этой точки не сохраняются (за исключением азимутальной равнопромежуточной проекции). Остальные геодезические линии, не проходящие через точку касания, как правило, также не сохраняются, за исключением рассматриваемого частного случая.