Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Так как nрасположено в знаменателе, то с его увеличением разность между p/ qи ( Р+ n· p)/( Q+ n· q) будет уменьшаться и в пределе, при бесконечно большом n, будет равна нулю.

* * *

Читатель согласится с тем, что окружности Форда настолько исполнены гармонии и элегантности, насколько отсутствие этих атрибутов характерно для доньи Росы; ее вздутого, как мех с оливковым маслом, живота, который Села называет «воплощением враждебности сытого к голодному».

Мартин Марко , или рациональное приближение иррациональных чисел

Оставим ненадолго донью Росу и окружности Форда и обратимся к биографии второго нашего героя — Мартина Марко, или рационального приближения иррациональных чисел.

Пифагор и пифагорейцы основывали математику и рациональное объяснение природы на том, что всю Вселенную можно свести к числам. Для пифагорейцев существовали только натуральные числа (1, 2, 3, 4, 5 и так далее) и дроби, которые можно было образовать из натуральных чисел. Тем не менее когда ученики Пифагора занялись простейшей геометрической операцией — измерением отрезков, основы их научной картины мира рухнули. Длина диагонали квадрата со стороной 1 оказалась в точности равна √2. Пифагорейцев постигло разочарование, когда они поняли, что √2 нельзя представить в виде дроби (об этом подробно рассказано на следующей странице). Что может быть проще, чем измерить диагональ квадрата? Однако даже ее нельзя точно выразить с помощью натуральных чисел и рациональных дробей. По легенде, Гиппас из Метапонта, пифагореец, раскрывший эту тайну кому-то из непосвященных, был сброшен в море с борта корабля и осужден вечно бороздить волны: «Раскрыв секрет невыразимого, он удостоился страшнейшего наказания — быть отделенным от сущего и низвергнутым в ничто, откуда прибыл».

Вскоре стало понятно, что, помимо чисел 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., которые мы используем при счете, и дробей, которые образуются из натуральных чисел, нужны и другие, более «сложные» числа. Чтобы установить различия между «нормальными» и «сложными» числами, математики стали использовать символические названия: числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. стали называться натуральными, а дроби, которые можно образовать из этих чисел, — рациональными.

Числа √2, 3√5, π , напротив, называются иррациональными, словно предупреждая об их нездоровой природе.

* * *

ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ КОРНЯ ИЗ 2

В доказательстве подобных утверждений проявляется изумительная сила логических рассуждений математики. Так как существует бесконечное множество дробей и мы не можем проверить их все, то как мы можем быть уверены в том, что не существует дроби, которая при умножении на саму себя будет равна 2? Используем революционное изобретение древних греков — доказательство, то есть корректное логическое обоснование математического утверждения. Взяв за основу очевидный факт, посредством логических рассуждений, каждое из которых логически выводится из предыдущих, мы доказываем истинность другого, неочевидного, факта. Первое доказательство, о котором мы расскажем, приписывается самому Пифагору и звучит так. Заметим, что всякая дробь имеет эквивалентную ей несократимую дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей. Если существует несократимая дробь (обозначим ее через p/ q), которая при умножении на саму себя равняется 2 (иными словами, p/ q· p/ q = 2), должно выполняться равенство р· р = 2· q· q. Покажем, что это невозможно. Если р· р = 2· q· q, то р· р— четное число; иными словами, оно в два раза больше некоторого другого числа. Так как квадрат нечетного числа — всегда нечетное число, рдолжно быть четным. Следовательно, число р в два раза больше некоторого другого числа, которое мы обозначим через k (иными словами, р = 2· k). Подставив это выражение в вышеуказанное равенство, получим 2· k·2· k = 2· q· q, или, что аналогично, 2· k· k = q· q. Следовательно, q· q— четное число, поэтому qтакже будет четным. Однако это невозможно, так как если дробь p/ qявляется несократимой, числитель и знаменатель не могут быть четными одновременно.

* * *

Эта редкая особенность иррациональных чисел становится очевидной, если мы попытаемся ответить на совершенно невинные вопросы: чему равен √2? чему равно π ? Иррациональное число по своей сути нельзя представить в виде дроби: можно найти дробь, которая будет отличаться от этого числа всего на одну миллионную или даже на одну миллиардную, но она не будет равна иррациональному числу. Если мы захотим уменьшить заданную величину разницы, мы сможем найти новую дробь, но она опять не будет равна иррациональному числу. Эта ситуация подобна проклятию: с той же жестокой монотонностью, с какой протекают тяжелые дни, описанные в романе «Улей», дроби будут следовать друг за другом, и последняя дробь, возможно, будет очень близка к иррациональному числу, но по-прежнему не равна ему.

Получается, чтобы описать иррациональное число, нужно использовать более или менее точные рациональные приближения. Чтобы выразить иррациональное число с абсолютной точностью, нам потребуется бесконечное количество рациональных приближений. Так родился новый тип математических задач — задачи о рациональном приближении иррациональных чисел.

Одним из первых внес вклад в решение задач этого типа Архимед, который получил известный результат, связанный с самой знаменитой математической константой: найдя приближенное значение длины окружности с помощью правильного 96-угольника, он определил, что число π меньше дроби 22/7 чуть больше чем на одну тысячную. Впоследствии этот результат пытались улучшить многие ученые: так, китайский математик Цзу Чунчжи обнаружил, что дробь 355/113 отличается от π менее чем на 3 десятимиллионных (это же значение получили многие европейские математики в конце XVI столетия).

Марки, выпущенные в честь Архимедаи Цзу Чунчжи— двух математиков древности, которые нашли самые точные приближения числа π.

С XVII века разложение в ряд стало подлинной одержимостью, охватившей всех, кто занимался вычислением рациональных приближений числа π . Эта лихорадка не обошла стороной даже столь видных ученых, как Ньютон и Эйлер.