Антонио Дуран - Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Этот ковер Аполлонияколоссальных размеров изобразил художник Джим Деневанв пустыне штата Невада.

Пример на основе треугольника

Построим другой фрактал, для которого можно точно определить размерность Хаусдорфа. Это кривая Коха, названная в честь шведского математика Нильса фон Коха, определившего ее в 1906 году. Существует несколько разновидностей этой кривой.

Мы построим кривую Коха, взяв за основу равносторонний треугольник. Для этого разделим каждую его сторону на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Получим шестиконечную звезду. Повторим построение снова, то есть разделим каждую из двенадцати сторон звезды на три равные части и заменим центральный отрезок на каждой стороне двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого будет этот отрезок. Для построения кривой Коха эти действия нужно повторить бесконечное число раз.

Четыре первых этапа построения кривой Коха.

Теперь представьте, что кривая Коха — это дорога. Рассмотрим две любые точки на этой кривой (представьте, что это две деревни, расположенные у дороги). Сядем в воображаемую машину и поедем из одной деревни в другую вдоль кривой. Какое расстояние покажет счетчик пробега в конце пути? Если читатель ответит, что расстояние будет зависеть от выбранных точек кривой, то ошибется: независимо от того, какие точки мы выберем, пройденное расстояние всегда будет равно бесконечности.

Иными словами, любой участок кривой Коха имеет бесконечно большую длину — она содержит так много поворотов, что проехать по ней от начала до конца невозможно (см. врезку на следующей странице). Похожими свойствами обладает дорога, проходящая вдоль побережья Галисии в Испании. Расстояние, отделяющее устье реки Миньо и мыс Эстака де Барес, по прямой составляет чуть больше 200 километров. Но попытайтесь проделать этот путь, следуя вдоль побережья, и он покажется вам бесконечным: автомагистраль будет петлять возле каждой реки, идти в объезд всех гор, мысов и заливов. Десять километров, разделяющие устье реки и мыс, превращаются в сто и даже больше, и путь кажется бесконечным. Именно это (пусть и в несколько преувеличенном виде) произойдет, если мы попытаемся проехать вдоль кривой Коха.

* * *

ДЛИНА КРИВОЙ КОХА

Чтобы убедиться, что кривая Коха имеет бесконечную длину, выполним следующие действия. Заметим, что на каждом шаге построения кривой Коха число отрезков, составляющих ее, увеличивается в 4 раза: каждый из отрезков, построенных на предыдущем шаге, делится на три части, одна из которых заменяется двумя отрезками. Иными словами, на смену каждому отрезку приходит четыре. Так как построение начинается с равностороннего треугольника, общее число отрезков на шаге Nбудет равно 3·4 N . По той же причине длина каждого из этих отрезков (все они имеют одинаковую длину) на каждом шаге делится на 3, поэтому на шаге Nдлина каждого ее отрезка будет равна I/3 N , где I — длина стороны исходного равностороннего треугольника. Длина кривой на шаге Nбудет равна числу образующих ее отрезков, умноженному на их длину:

Так как 4/3 больше 1, степень (4/3) N с увеличением Nбудет неограниченно возрастать и в итоге будет равна бесконечности. Аналогичным образом можно убедиться, что любая часть кривой Коха имеет бесконечную длину.

* * *

Как и в случае с ковром Аполлония, стандартная размерность совершенно не подходит для описания кривой Коха: нельзя говорить, что эта кривая имеет размерность 2, то есть ту же размерность, что и содержащая ее плоскость; однако учитывая сложность этой кривой, произвольный участок которой имеет бесконечно большую длину, было бы ошибкой полагать, что ее размерность равна 1. Размерность Хаусдорфа позволяет в точности понять, в какой степени кривая Коха сочетает в себе кривую и поверхность. Ее размерность равна ln 4/ ln З (см. врезку на следующей странице).

Мандельброт показал, что геометрия фракталов может быть невероятно сложной, однако очень часто эту сложность порождает простое подобие различных частей кривой, сохраняющееся вне зависимости от масштаба.

* * *

ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КРИВОЙ КОХА

Вычислить фрактальную размерность кривой Коха сравнительно просто. Напомним, что общее число отрезков этой кривой на шаге Nравно 3·4 N , а длина каждого из этих отрезков равна I/3 N (см. предыдущую врезку). Учитывая особенности построения кривой, впишем ее в квадрат со стороной I (где I— длина стороны исходного треугольника). Будем делить квадрат на равные части так, чтобы их число отвечало степени тройки: сначала на 3 части, затем на 3·3 = 3 2частей, затем на 3·3·3 = 3 3и так далее. Теперь подсчитаем, сколько маленьких квадратов необходимо для покрытия кривой Коха, если мы разделим сторону исходного квадрата, например, на 3 N частей. Для этого заменим кривую Коха кривой, полученной на N-м шаге построения. Так как длина стороны маленького квадрата равна I/3 N , каждый из них покроет примерно один отрезок кривой, который также имеет длину I/3 N . Так как число отрезков кривой равно 3·4 N , нам потребуется примерно 3·4 N маленьких квадратов. Согласно определению размерности Хаусдорфа, мы разделили сторону квадрата на n = 3 N частей, а для покрытия всей кривой требуется n F = 3·4 N маленьких квадратов. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дробь, определяющую размерность Хаусдорфа:

Когда число частей, на которое мы делим квадрат, то есть n, или, что аналогично, N, становится бесконечно велико, размерность Хаусдорфа будет равна ln4/lnЗ .

* * *

Фракталы — редкие, удивительные множества, которые, как «кажется», далеки от привычных нам физических ощущений. Мы взяли слово «кажется» в кавычки, поскольку фракталы присутствуют повсеместно, мы видим их так часто и настолько привыкли к их особенностям, что даже не распознаем их. В природе фрактальная геометрия обнаруживается буквально повсюду. Береговая линия Испании или Норвегии, изрезанная фьордами, точнее всего описывается именно фрактальной кривой, подобной кривой Коха. Ничто не описывает сложную сеть нейронов нашего мозга лучше, чем фракталы. Именно математический взгляд и острота взора Хаусдорфа и Мандельброта позволили увидеть, как часто фракталы встречаются в природе.