Виктор Тростников - А может быть, вы математик?

Видели ли вы когда-нибудь маленьких лисят в зоопарке? Наблюдать за этими зверьками можно без конца. Они все время наскакивают друг на друга, борются, возятся. Воинственная игра составляет 99 процентов времени лисят, не занятого сном и едой. Примерно таким же образом ведут себя волчата, львята и другие детеныши млекопитающих.

Можно спросить: в чем смысл этой непрерывной игры? Выгода для вида в ней, вероятно, имеется: зверь с раннего детства вырабатывает определенные качества, которые понадобятся ему впоследствии, когда он будет охотиться, спасаться от врагов и прочее. Но ведь лисенок и львенок не знают о том, что тренировка окажется для них полезной. Объяснение механизма игры нужно искать не в абстрактных понятиях биологической целесообразности, а в тех конкретных свойствах, которыми обладают млекопитающие. В этих существах заложена огромная жизненная энергия, именно она обеспечивает процветание биологического класса. Но зверь не может с первых месяцев жизни знать, в каких случаях практически выгодно высвобождать энергию, а в каких нет. Экономии сил он научится уже в зрелом возрасте, в результате накопившегося опыта. Следовательно, игра есть побочное следствие тех особенностей зверя, которые обеспечивают ему успех в борьбе за существование, а не акция, сознательно направленная на подготовку к этой борьбе.

В этом смысле юного одаренного математика можно сравнить с резвящимся лисенком. Он не имеет ни малейшего представления о том, какие задачи важны для практики, а какие не важны. Скептическая мысль «а зачем это нужно?» не приходит ему в голову, так как математическая мощь, живущая внутри него, требует исхода, ей хочется расправить плечи, поиграть мышцами. Удалая умственная забава соответствует потребностям натуры, поэтому все кажется слишком интересным, чтобы возникали проблемы применения.

Как объяснить человеку, начисто лишенному математического таланта, почему хороша задача о цепочке и гостинице, хотя она самым явным образом вымышлена и ее решение абсолютно никому в жизни не понадобится?

Былинные богатыри в юношеских забавах отрывали сверстникам руки и ноги. Молодые гиганты не понимали, какие цели являются достойными применение их сил; это понимание пришло значительно позже, когда они железным заслоном встали против врагов на рубежах Родины. Так же развивается и гигант математической мысли. Прежде всего он ощущает потребность реализовать свои огромные мыслительные возможности, в частности решать задачи. Неважно, какие задачи, лишь бы они были достаточно трудными.

Как-то я шел по лесу с девочкой девяти лет. Это была весьма легкомысленная особа, любившая самые глупые забавы. Ребенок как ребенок — шаловливый, шумный. Я сказал ей: «Нужно идти домой», — потом добавил для усиления эффекта: «Домой идти нужно». И тут мне пришла мысль поиграть со своей спутницей. Я спросил ее:

— А сколько раз можно сказать эту фразу, переставляя по-разному ее слова?

— Шесть раз, — ответила она без малейшей паузы.

Я преподавал математику во многих вузах, поэтому смог оценить быстроту счета. Заметьте: я воспринял мгновенный ответ именно как молниеносный перебор в уме всех возможных вариантов построения фразы. Уже через несколько секунд я обнаружил, что жестоко ошибся.

- А если бы было четыре слова? — спросил я, сам не зная для чего, просто, чтобы поддержать разговор.

— Двадцать четыре, — ответила она, не прекращая даже занятия, которым в тот момент была поглощена, — обрывания лепестков у ромашки.

Мне стало не по себе. Тихим голосом я задал следующий вопрос:

— А если пять слов?

На этот раз она перестала заниматься цветком и взглянула на меня с искрой любопытства в глазах.

— Ну что ж, это можно подсчитать... двадцать четыре умножить на пять... сто двадцать!

Теперь уже сомнений не было: ученица третьего класса самостоятельно открыла формулу для числа перестановок из n элементов —

но не знала, что сделала открытие, ибо эта формула казалась ей слишком очевидной.

Девочка со столь блестящими способностями, с таким сильным и ясным мышлением, разумеется, не могла задать традиционного вопроса «середняка» — «Зачем это нужно?». Гимнастика была просто необходима ее великолепно устроенному уму. И потом, когда мы начали заниматься математикой серьезно и систематически, она ни разу не задумалась над проблемой практической полезности тех знаний, которые я ей сообщал. Для нее было самым естественным и приятным занятием решать задачи, если они не были очень уж простыми.

Итак, реакция «А для чего это может понадобиться?», если она у вас возникла при чтении текстов приведенных шести задач, означает, что первый же тур экзаменов вами не пройден и математик из вас не получится. Конечно, существует множество других не менее достойных профессий, и вы наверняка найдете себя в одной из них. Но мы сейчас говорим о математике. Однако те, кто был задет за живое нашими задачами, кого они вдохновили на размышления, не должны еще считать себя проигравшими спор. Впереди следующие туры проверки.

Великий французский математик Анри Пуанкаре сказал как-то: «Всякий хороший математик должен быть хорошим шахматистом, и, наоборот, кроме того, математик должен быть и хорошим вычислителем...

Но существуют и исключения, а может быть, я и неправ, называя их исключениями, ибо они, возможно, более многочисленны, чем случаи, подтверждающие правило...

Что касается меня лично, то я должен признаться: я абсолютно не способен сложить два числа без того, чтобы не ошибиться. Кроме того, я очень плохо играю в шахматы».

Пуанкаре говорит об этом как о парадоксе. На самом деле: странно, что математики в общем не выделяются в качестве шахматистов среди остальных людей, хотя в других, казалось бы, значительно меньше связанных с математическим мышлением занятиях (например, в раскройке тканей или в починке электропроводки) они имеют заметные преимущества. Парадоксальность ситуации проявится еще резче, если принять известный тезис «математик сделает это лучше», под которым понимается, что в случае, когда двум людям, из которых один — математик, а другой — нет, поручается одинаково незнакомая для них работа, то первый справляется с ней успешнее. Есть серьезные экспериментальные подтверждения этого тезиса, конечно, если понимать его в статистическом смысле. Но коль скоро математическая одаренность помогает в любом деле, то почему же она не сказывается на умении играть в шахматы — в игру, которую можно рассматривать как математическую?

Чтобы попытаться объяснить видимое противоречие, подойдем к нему еще с одной стороны.

В Советском Союзе, как, вероятно, и во всех других странах мира, существует значительное число людей, посвящающих большие и длительные усилия разрешению «вечных» математических головоломок. В Академию наук и другие учреждения непрерывно поступает поток «доказательств» великой теоремы Ферма, «методов» квадратуры круга и т. д. Мне прислал недавно письмо некий энтузиаст, который, по его словам, уже в течение сорока лет занимается проблемой трисекции угла. К письму было приложено только что найденное автором «окончательное решение» древней задачи (конечно же, в рассуждении содержалась грубая ошибка). Будем называть тружеников такого сорта «ферматистами», даже если объектом их настойчивого стремления служит не доказательство теоремы Ферма, а решение какой-то другой проблемы такого же класса трудности.