Валентин Асмус - ЛОГИКА

§ 1.Всякая истина есть не только верное суждение, т. е. суждение, соответствующее фактам. Всякая истина есть, кроме того, суждение обоснованное , т. е. суждение, высказывание которого сопровождается указанием оснований, в силу которых оно истинно и должно быть признано истинным.

Есть суждения, истинность которых удостоверяется простым восприятием. Такие суждения называются непосредственно очевидными и не нуждаются в доказательстве. Примеры непосредственно очевидных суждений: «я вижу что-то белое», «эта линия — ломаная».

Некоторые из непосредственно очевидных суждений составляют основу целого ряда истин, в том числе не обладающих очевидностью, но относящихся к одной и той же области знания. Такие суждения называются аксиомами . Пример аксиомы: «целое больше своей части».

Суждения, истинность которых не имеет непосредственной очевидности, доказываются , т. е. приводятся к очевидности, посредством указания оснований, в силу которых они являются истинными.

Доказательность, как мы уже знаем, есть одно из важнейших условий научного знания. Огромное большинство научных истин не дано непосредственно нашему восприятию. Более того. Непосредственное восприятие часто вводит нас в заблуждение, так как часто показывает нам явления не такими, каковы они в действительности. Например, для непосредственного восприятия только что взошедшая Луна кажется большей по величине, чем та же Луна, когда она высоко поднимется над землёй. В действительности угол, под которым виден поперечник Луны, один и тот же и в тот момент, когда Луна восходит, и в тот, когда она стоит высоко над горизонтом. Так как очевидность восприятия может быть обманчивой, то в наиболее точных науках, как математика, не доверяют непосредственной очевидности восприятия и стремятся доказывать, по возможности, все истины, за исключением крайне небольшого числа аксиом. Но и аксиомы время от времени пересматривались в математике с целью установить, не может ли быть число их уменьшено посредством доказательства тех из них, которые в сравнении с остальными представляются не столь очевидными.

§ 2. В широком смысле слова доказательством называется всякий способ уяснения оснований, по которым известное суждение считается истинным. В этом широком смысле слова к доказательствам принадлежат также и выводы , или умозаключения.

При выводе основанием для заключения является не непосредственное восприятие, но истинность других суждений, признав которые в качестве истинных мы не можем не признать истинным и заключение. При выводе истинность суждения не просто утверждается, но доказывается. Однако доказательство здесь состоит лишь в усмотрении необходимой связи между посылками и заключением, самые же посылки принимаются в качестве истинных без исследования и без проверки их истинности.

§ 3.В более узком и специальном смысле доказательством называется не всякий вывод, но особый вид вывода или особая форма обоснования истины. В этом — специальном — смысле доказательством называется исследование истинности (или ложности) суждений . А именно: доказательство есть такое умозаключение, посредством которого удостоверяется истинность (или ложность) данного суждения.

Сравним с этой точки зрения два следующих вывода:

Первый . «Так как все злаки цветут колосками и так как все бамбуки — злаки, то все бамбуки также цветут колосками».

Второй . «Если верно, что все злаки цветут колосками, а также что все бамбуки — злаки, и если умозаключение правильно, то верно и то, что все бамбуки цветут колосками. Но утверждения, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки — злаки, истинны. Также правилен и самый ход умозаключения. Следовательно, заключение, что все бамбуки цветут колосками, истинно».

В широком смысле понятия оба эти вывода — доказательства . В специальном смысле понятия доказательством будет лишь второй вывод, первый же будет обыкновенным умозаключением. Первый вывод есть усмотрение необходимой связи между посылками и заключением. Второй вывод есть доказательство того, что заключение, т. е. суждение «все бамбуки цветут колосками», истинно. Первый вывод состоит только из сопоставления посылок и из усмотрения вытекающего из них заключения. Второй — более сложен и представляет умозаключение об умозаключении. А именно: умозаключение, составляющее предмет другого умозаключения, есть условное умозаключение: «Если суждения «все злаки цветут колосками» и «все бамбуки — злаки» истинны и если само умозаключение — правильное, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно». Второе умозаключение удостоверяет истинность первого: «Так как истинно, что все злаки цветут колосками и что все бамбуки—злаки, и так как умозаключение оказалось правильным, то заключение «все бамбуки цветут колосками» истинно».

§ 4.Можно было бы подумать, будто отличие вывода, или умозаключения, от доказательства состоит в том, что в выводе мысль идёт от посылок к заключению, а в доказательстве, напротив, — от доказываемого положения к посылкам, или основаниям, из которых оно выводится.

В действительности как в выводе, так и в доказательстве ход мысли может быть и тот и другой. В одних случаях вывод состоит в том, что даны посылки и требуется извлечь из них заключение. Например, даны посылки: «калий — металл», «калий не тонет в воде»; требуется ответить на вопрос: какое заключение следует из этих посылок? Ответ: «некоторые металлы не тонут в воде». Здесь мысль идёт от посылок к заключению.

Другой пример. Дано суждение: «некоторые металлы не тонут в воде»; требуется ответить на вопрос: какими посылками может быть обосновано это суждение как заключение вывода? Ответ: такими посылками могут быть, например, посылки: «калий — металл» и «калий не тонет в воде». Здесь мысль идёт от заключения к обосновывающим это заключение посылкам.

Но не иначе обстоит дело и с доказательством. И в доказательстве возможны, как мы убедимся ниже, два способа установления истинности доказываемого положения: один состоит в том, что от установленных или признанных положений рассуждение идёт через ряд следствий, выведенных из этих положений, к доказываемому суждению; другой состоит в том, что, рассмотрев доказываемое суждение, показывают, что, при условии, если это суждение принято в качестве истинного, из него вытекает ряд положений, истинность которых уже установлена и которые были доказаны другими способами.