Валентин Асмус - ЛОГИКА

§ 32.Рассматривая доказательства любой математической науки, нетрудно заметить, что все истинные положения этой науки образуют как бы длинную цепь, в которой каждый доказываемый тезис опирается на ранее доказанные основания, а эти основания в свою очередь доказываются как тезисы — из других оснований и т. д.

Однако это восхождение от тезисов к основаниям и от этих оснований, рассматриваемых как тезисы, к другим основаниям не может продолжаться до бесконечности. Раньше или позже мы дойдём до таких положений, которые уже не могут быть доказаны с помощью других оснований и которые сами являются основаниями, посредством которых доказываются — прямо или косвенно — все без исключения положения и теоремы данной науки.

Прямое участие этих оснований в доказательствах заключается в том, что положения эти применяются при доказательстве некоторых теорем в качестве единственных оснований, на которые опирается доказательство этих теорем. Так, в геометрии первые теоремы этой науки доказываются не на основании других теорем, а на основании определений основных понятий геометрии и на основании некоторых аксиом , или постулатов , которые уже нигде далее не доказываются.

Косвенное участие этих оснований в доказательствах заключается в том, что теоремы, доказываемые при помощи одних только этих оснований, в свою очередь служат основаниями для доказательства других положений и теорем данной науки.

Так как эти основания являются для каждой математической науки основаниями, уже невыводимыми из других оснований, и так как, достигнув их, мы уже не можем продолжать восхождение к новым основаниям, то такие основания принято называть последними или исходными основаниями как данной науки в целом, так и всех употребляемых в ней доказательств.

Но так как при изложении математических наук на первом месте сообщаются именно исходные основания науки и уже затем с помощью этих оснований доказываются сначала первые, а затем все последующие теоремы этой науки, то исходные основания иногда называют также и первыми основаниями.

§ 33.Все исходные основания являются либо определениями основных понятий данной науки, либо её аксиомами .

Никакая наука — каковы бы ни были её предмет и её область — не может доказывать своих положений без точного определения понятий, входящих в эту науку и во все её доказательства. Геометрия, арифметика, механика, физика, химия, политическая экономия и т. д. начинаются с определения основных для каждой из них понятий. Будучи однажды установлено в своём содержании, определение должно мыслиться в том же самом содержании во всех рассуждениях данной науки и во всех её доказательствах. Если бы, взявшись исследовать, например, свойство плоских треугольников, мы в одном случае под словом «плоский треугольник» разумели одно содержание, а в другом — другое, противоречащее первому, то мы не могли бы доказывать свойства этих треугольников. И точно так же, если бы, взявшись исследовать законы производства и обмена товаров, политическая экономия в одном случае разумела под словом «товар» одно, а в другом — другое содержание, она не могла бы обосновывать свои учения о товаре.

§ 34.Кроме определений к числу высших оснований науки принадлежат также и аксиомы . Так называются основания, которые не доказываются данной наукой и принимаются ею в качестве исходных оснований. Примером аксиомы в арифметике может быть аксиома, согласно которой сумма данных количеств не изменяется от перестановки слагаемых количеств и т. д.

Сходство между определением и аксиомой состоит в том, что и определения и аксиомы употребляются в качестве исходных оснований доказательства, т. е. таких оснований, которые не выводятся из других оснований.

Различие между определением и аксиомой может быть легко выяснено. Определение есть установление содержания основного для данной науки понятия. Определение, например, вертикального угла предполагает согласие между всеми геометрами о том, какое содержание разумеют они, когда речь идёт о вертикальных углах. Определение понятия «товар» предполагает согласие между экономистами, по которому под «товаром» все они разумеют вещь, способную удовлетворять какую-либо потребность и способную обмениваться на другие вещи. Установление системы принятых в данной науке определений устраняет ту сбивчивость в понятиях, которая была бы неизбежной, если бы относительно терминов, означающих эти понятия, не существовало согласия.

Чем точнее определение, тем меньше опасность логических ошибок, происходящих от отсутствия определённости в мышлении. И, напротив, при отсутствии точных определений понятий всегда возможно недоразумение, состоящее в том, что собеседники или спорщики только воображают, будто рассуждают об одном и том же предмете, в действительности же каждый из них в ходе рассуждения под одним и тем же словом разумеет не совсем одно и то же (а иногда и совершенно различное) содержание.

§ 35.В отличие от определения, которое только устанавливает содержание понятия, аксиома есть утверждение, которое рассматривается в данной науке как заведомо истинное, хотя оно нигде не доказывается.

Определение, само по себе взятое, ещё не говорит о необходимой истинности определяемого. Правда, в огромном большинстве случаев определения выражают то самое содержание предмета, которое существует в действительности. Но возможно точное определение и такого понятия, которое означает предмет, не существующий и не могущий существовать в действительности. Так, задача квадратуры круга, т. е. отыскания квадрата, площадь которого была бы в точности равновелика площади круга, есть задача неразрешимая, но самое понятие квадратуры круга может быть определено вполне точно.

Напротив, аксиома есть не условие, принятое относительно значения и содержания известного понятия, но некоторое утверждение, которое рассматривается в данной науке в качестве положения заведомо истинного.

§ 36.Иногда думают, будто аксиомы не доказываются потому, что истины, выражаемые в этих аксиомах, настолько очевидны, что не требуют никакого доказательства. Мнение это не совсем правильное. И действительно, очевидность истины, сама по себе взятая, ещё не освобождает от необходимости доказать эту истину, — если только такое доказательство может быть найдено.В геометрии, например, существует немало теорем, которые не-специалисту представляются совершенно очевидными в своей истинности и которые тем не менее доказываются со всей строгостью принятых в этой науке доказательств. Такова, например, теорема, согласно которой диаметр всякого круга делит этот круг на равные части и т. д.