Валентин Асмус - ЛОГИКА

Так, например, лицо, высказывающее суждение, может умышленно сказать ложь, т. е. выдать заведомо ложное сообщение за истинное. Но если, желая ложь выдать за истину, лицо это само ошибётся и по ошибке будет считать ложью то, что в действительности истинно, то в результате передачи рассматриваемое суждение может оказаться истинным.

§ 24.Генетическое опровержение возможно не только там, где первоначальное суждение ложно . Если первоначальное суждение само по себе истинно, но если при этом оно испытало изменение в звеньях передачи и если изменение это делает первоначальное суждение несовместимым с восходящим к нему суждением, то тем самым доказывается, что это последнее суждение ложно. Например, обвиняемый в получении взятки от лица Н утверждает, будто он взятки не брал.

Если это утверждение истинно, то в этом случае он, конечно, не мог ошибиться, т. е. относящееся к этому случаю первоначальное суждение должно было быть истинным. Но свидетельскими показаниями установлено, что в этом случае обвиняемый лжёт. Так как ложь не что иное, как замена первоначального суждения несовместимым с ним суждением, то отсюда следует, что утверждение обвиняемого ложно.

§ 25.Во всех науках и во всех научных доказательствах все понятия, которые входят в состав доказательства, ведут своё происхождение в конечном счёте из практики, из опыта. В этом отношении не составляют исключения и доказательства математических наук. Правда, понятия, которыми пользуется математик, отвлекаются от целого ряда свойств, которые принадлежат предметам этих понятий в нашем опыте. Математический круг, куб, шар и т. д. не существуют в опыте в том виде, в каком их мыслит ум геометра. И всё же даже самые отвлечённые понятия математики возникли в конечном счёте из опыта и на основе опыта. То же справедливо относительно математических определений и относительно аксиом , т. е. непосредственно очевидных истин, лежащих в основе всего математического знания. Как бы ни казались далёкими от опыта, а иногда даже противоречащими опыту эти определения и аксиомы, — все они в конце концов являются продуктами отвлечения от известных сторон опыта и не могли сложиться в мысли иначе, как на основе опыта.

§ 26.Так обстоит дело с понятиями, определениями и аксиомами математики. Сложнее обстоит дело с доказательствами. Во всех науках, кроме математических, доказательство всегда непосредственно связано с опытом. Это значит, что кроме той связи с опытом, без которой вообще не могло бы существовать никакое понятие, никакая аксиома, в науках этих в состав доказательства всегда входят такие части и такие данные, которые прямо предполагают обращение к опыту: к наблюдению, эксперименту и т. д.

Напротив, в математических науках доказательства — если рассматривать одну логическую их сторону, а не происхождение понятий, входящих в состав доказательств, — всегда ведутся таким образом, что в ходе доказательства математику не приходится прямо обращаться к опыту, помимо тех элементов опыта, которые уже содержатся в его понятиях, определениях и аксиомах. Иными словами, опыт входит в математические доказательства не непосредственно , как он входит в доказательства физика, химика, биолога, но лишь посредством понятий , которые некогда образовались на основе опыта, но в своём современном содержании являются отвлечёнными по отношению к этому опыту.

§ 27.Это различие между науками математическими и науками эмпирическими , т. е. доказывающими свои положения на основе прямого обращения к опыту, порождает различие в видах доказательства.

Доказательства математических наук, не требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и опирающиеся на опыт лишь через посредство тех элементов опыта, которые содержатся в основных понятиях, определениях и аксиомах этих наук, называются математическими доказательствами.

Доказательства наук о природе, необходимо требующие привлечения прямых данных опыта в самом ходе доказательства и, таким образом, не ограничивающиеся теми элементами опыта, которые содержатся в их основных понятиях, называются эмпирическими доказательствами.

Из этих определений и объяснений ясно, что различие между этими двумя видами доказательства состоит вовсе не в том, что доказательства математических наук стоят якобы вне опыта, а доказательства эмпирических наук основываются на опыте. Все доказательства всех наук — математических так же, как и эмпирических, — предполагают опыт в качестве необходимой последней основы и проверочной инстанции всех своих истин и положений.

Различие между этими двумя видами доказательства обусловлено только тем, что в одном самым ходом доказательства требуется прямое обращение к данным опыта, в другом для осуществления доказательств достаточно той связи с опытом, которая дана уже в самом содержании понятий, входящих в состав доказательства.

Из сказанного видно, что различие между математическими и эмпирическими доказательствами — не безусловно. Ряд наук о природе, доказывающих свои истины при помощи прямого обращения к опыту, содержат в себе и такие части, в которых доказательства ведутся по методу доказательств математических наук. С другой стороны, и в математических науках математической форме доказательства часто предшествует обоснование, предполагающее прямое обращение к опыту, так что математическая форма доказательства вырабатывается впоследствии, когда доказываемый тезис, т. е. результат доказательства, стал уже известен из опыта. Примером такого перехода от найденного в опыте результата к его математическому и дедуктивному по форме обоснованию может служить уже упомянутая выше история архимедовского определения площади параболы.

Наконец, даже в строго математических по форме доказательствах последние основания, на которые эти доказательства опираются, а именно определения основных понятий науки и аксиомы, возникли в конечном счёте на основе опыта, хотя в том содержании, в каком они мыслятся наукой в настоящее время, они могут вследствие своей крайней отвлечённости казаться ни от какого опыта не зависящими.

Деление доказательств на математические и эмпирические зависит, как было показано, от того, ведётся ли доказательство без прямого обращения к опыту или же в состав доказательства в том или ином объёме входит также и прямое обращение к данным опыта.

§ 28.Доказательства различаются также и по ходу мысли в самом рассуждении . Доказательство, в котором рассуждение идёт от установленных или признанных положений — через ряд следствий, выведенных из этих положений, — к тезису или доказываемому суждению, называется прогрессивным доказательством. Название это показывает, что мысль в ходе рассуждения идёт всё время вперёд — от оснований — через рассуждение — к доказываемому тезису.