Г Гутнер - Онтология математического дискурса

Ситуация удивительным образом воспроизводит проблему универсалий. Вопрос о том, как общие понятия присутствуют в единичных вещах приводит ровно к тем же затруднениям. Вид присутствующий в различимых индивидах может быть либо един, либо множествен. Первый случай невозможен из-за того, что в этом случае нумерически одно должно находится сразу во многих местах. Второй же приводит к бесконечному умножению видов, ибо у всего множества, называемого одним видом, должно быть нечто общее, что собственно и делает вид одним. Потому что - как пишет Аристотель - "Если здесь не один и тот же вид бытия, то у них было бы только имя общее, и было бы похоже на то, как если бы кто называл человеком и Каллия и кусок дерева, не усмотрев никакойобщности между ними" (Метафизика I,9).(См. примечание 6)

Последняя трудность, на которую мы обязаны обратить внимание, связана с принципом "темпоральности", лежащем в основе разрабатываемого здесь подхода к дискурсу. Мы видели, что основой всякого различия между актуальными объектами является различие во времени. Именно структура таких различий задана схемой. Последняя не может определять ничего, кроме соотношения длительностей временных интервалов между точечными синтетическими актами. Дискурс оказывается последовательностью действий по конструированию элементарных (различимых лишь по времени) объектов. Но тогда мы можем объяснить только одномерную конструкцию, прямую линию. Понятая так трансцендентальная схема исключает одновременность и многомерность в восприятии объекта. Кант указывал на абсурдность описанной ситуации, находя в ней аргумент против "проблематического идеализма" ([30], с. 626-630). Он отмечал, что представление (даже с помощью одного лишь воображения) трехмерных объектов невозможно без обращения к внешнему чувству, т.е. к пространству. Внутренне чувство (время) обладает одним измерением и, опираясь только на него, нельзя мыслить пространственные конфигурации. Кант видит здесь довод против скептицизма Декарта суть которого он излагает так: "Проблематический идеалист признает, что мы воспринимаем изменения посредством нашего внутреннего чувства, но он отрицает, что на этом основании можно заключать о существовании внешних предметов в пространстве" (с. 626-627). Нам, однако, представляется, что указанная сложность присуща также и самой кантовской философии именно в силу центральной роли схематизма для познавательной способности. Схема дает правило для определения времени и совершенно невозможно понять, как она может быть прообразом или правилом конструирования пространственного объекта. Здесь остается лишь вновь сослаться на цитированное уже место из "Критики чистого разума" о "сокровенном в недрах человеческой души искусстве" (B181).

Примечания к Главе 3

1. Во всяком случае в таблице категорий, приводимой в "Аналитике понятий", второй из категорий модальности названо именно "существование" (B106), тогда как в "Аналитике основоположений" фигурирует термин "действительность". вернуться в текст

2. В [76], с. 96-99 совершенно точно указывается на необходимость различать "реальное" и "действительное". В противном случае выражение "реальная возможность" окажется оксюмороном. Реально то, что получено в результате синтеза, совершенного сообразно условиям опыта. Все действительное реально. Но реальным может быть и возможное. Вообще введение термина "реальный" представляется оправданным именно в смысле противопоставления реальной и логической возможности. вернуться в текст

3. Рассматриваемая далее структура античной теоремы была описана Проклом в "Комментариях к первой книге начал Евклида". См. комментарий к первому предложению в [78], c. 180-181. Интересная интерпретация этой, установленной у Прокла структуры имеется в статье А.Родина "Теорема" [49]. Родину принадлежит перевод на русский язык терминов, используемых Проклом для обозначения частей теоремы. вернуться в текст

4. В [76] приведена довольно обширная литература по вопросу трансцендентального схематизма. Там же указано на многочисленные (и на наш взгляд вполне оправданные) жалобы многих исследователей на трудность и темноту данной проблемы. вернуться в текст

5. Проблема взаимодействия звучащего и незвучащего в музыке подробно рассмотрена в книге М. Аркадьева [3]. В ней музыкальное произведение представлено как развертывание звучания в непрерывной незвучащей среде, названной автором "музыкальным временем". Последнее не является безразличным вместилищем для звуков, но находится с ними в сложном взаимодействии. Подобное описание музыкального произведения оказывается неожиданно близким к нашему представлению математического дискурса. вернуться в текст

6. Рассуждение указывающее на трудность в рассмотрении общих понятий, связанную с их бесконечным умножением, была впервые указана у Платона в "Пармениде", а затем у Аристотеля в "Метафизике" (I,9). В обоих случаях, впрочем, аргументация несколько отлична от приводимой здесь, поскольку речь в названных книгах идет о самостоятельном (или, как выражается в [35] Г.Г. Майоров, "субсистентном") существовании идей. Наше рассуждение ближе к рассуждению Боэция ([9], c.25). вернуться в текст

ГЛАВА 4 Именование и существование в структуре дискурса

1 Имя и действительность

Изучая структуру теоремы, мы оставили без внимания одно важное обстоятельство. Актуализируя впервые возможное понятие, т.е. предъявляя в экспозиции единичный действительный объект, мы не просто нарисовали его, но еще произнесли при этом: "Пусть ABC - треугольник".

Приведенная фраза указывает, прежде всего, на то, какое возможное понятие было актуализировано в экспозиции. Но кроме того, она еще называет объект, появившийся при этом событии. Выделение соответствующей понятию единичной конструкции сопровождается именованием. Последнее можно считать (в данном примере) неизбежным следствием актуализации. Единичный предмет может быть назван и тем отлич?н от других единичных предметов. Однако, поскольку по поводу этого единичного предмета разворачивается некий дискурс, он не только может, но и должен быть назван. Имя призвано указывать на этот предмет в ходе дальнейшего дискурса. Имя свидетельствует о наличности этого предмета, его постоянной предъявленности рассуждению. Иными словами, имя есть коррелят действительности предмета (или объекта что в данном случае более точно). Можно считать, что именование неизбежно происходит при актуализации, поскольку даже если мы не придумаем для объекта особого имени (как, например, ABC), то мы все равно должны будем сопровождать его появление каким-то указательным местоимением (этот треугольник) или хотя бы жестом. В противном случае актуализация просто не будет замечена. Имя фиксирует актуальный объект для последующего дискурса. К нему происходят многократные обращения, т.е. оно само постоянно воспроизводится в виде некоторого следа. Но многократность воспроизведения означает наличие схемы, по которой это имя произведено и благодаря которой оно может быть опознано как одно и то же при разных воспроизведениях. К имени, следовательно, мы должны применить тот же набор категорий, который применялся к именуемому объекту. Во всяком случае, написанное или произнесенное имя само является действительным объектом, а именование событием, актуализацией, предъявлением этого единичного объекта. Впрочем, пока мы обязаны констатировать некую несамостоятельность имени. Дискурс разворачивается не о нем. Более того, не ставится вопрос о его возможности. Оно возможно всегда, когда возможен обозначаемый им предмет. Хотя возможно оно и само по себе, и вскоре мы увидим насколько это важно. Пока что отметим еще, что для имени в любом случае важна необходимая связь элементов. Назвав треугольник ABC, мы в дальнейшем не можем поставить на место какой-либо из этих букв - другую. Это сразу приведет к разрушению дискурса.