Г Гутнер - Онтология математического дискурса

Итак, оставаясь зависимыми от именуемого объекта, имена все же обретают собственную объективность. Эта объективность состоит в том, что они конструируются согласно определенным общим правилам и появляются в дискурсе как действительные объекты. Это особенно ясно видно при фиксации в дискурсе геометрических конструкций, появившихся в результате определенных операций над более простыми конфигурациями. Так, например, построив угол, равный сумме двух других, названных a и b, мы конструируем новое имя: a+b. Такое конструирование может оказываться важной составляющей для тех двух частей теоремы, которые описывают единичный объект - для детерминации и доказательства. Причем конструирование имен может породить новый дискурс, разворачиваемый как правило в пределах двух названных частей. Здесь могут фигурировать общие суждения, относящиеся к именам. Таковы, например, общие посылки в силлогизмах 4 и 5 в 2 третьей главы.

Однако, обладая некой объектностью, имена все же не являются здесь объектами в полном смысле слова. Пока мы не можем определить особого понятия, которое бы актуализировалось с помощью имени. Они остаются как бы соучастниками актуализации тех понятий, которые являются основными для дискурса, т.е. понятий геометрических объектов. Потому событие именования представляется здесь вторичным по отношению к событию построения. Однако способность имени превращаться в самостоятельный объект оказалась небезразличной для других разделов математики. 2 Математический дискурс, основанный на именовании

Как самостоятельный объект имя выступает прежде всего в алгебре. Чтобы убедиться в этом, следует рассмотреть построение алгебраической теоремы и попытаться найти в ней те части, которые присутствовали в теореме геометрии. Легко убедиться, что алгебраическая теорема действительно поддается тому же самому расчленению. Однако в ней обнаруживаются интересные особенности.

Рассмотрим пример. Известная теорема утверждает, что любой полином с комплексными коэффициентами может быть представлен в виде произведения линейных множителей, количество которых равно степени полинома.

Приведенное общее утверждение естественно рассматривать как protasis теоремы. Мы имеем дело с предположением о возможности общего понятия, которое должно быть реально синтезировано в ходе доказательства. Естественный ход, который в любом учебнике алгебры является прологом к доказательству, полностью повторяет экспозицию и детерминацию евклидовой теоремы. Ход этот осуществляется примерно так:

Пусть имеется полином a0+a1 z+....+an zn , тогда

a0+a1 z+....+an zn = an (z-z1)...(z-zn),

где z1,..zn - комплексные числа.

Очевидно, что все использованные в приведенной записи буквы суть имена чисел, которые могут быть подставлены вместо них в выражение. Но из этих имен создана совершенно самостоятельная конструкция, единичный объект, построенный по определенным правилам сообразно своему понятию. Как и в геометрии произведен переход от общего утверждения к единичному предмету. Все последующие действия будут состоять в построении новых объектов более сложной конфигурации, состоящих из символов, т.е., в конечном счете из имен. Однако тот факт, что каждый символ, входящий в конструкцию, может в принципе указывать на какое-то число, не особенно важен для алгебры.

Дальнейшее развертывание теоремы обнаруживает еще одно знаменательное отличие от геометрии. В ней, на первый взгляд, нет дополнительного построения. После экспозиции и детерминации сразу же следует доказательство, которое, как и в геометрии, есть процедура, оперирующая с именами объектов. Но что представляет собой эта процедура в данном случае? Это - последовательность алгебраических выкладок, совершаемых по определенным правилам. Иными словами - это конструирование знаковых объектов, связанных в производимой последовательности формул согласно законам алгебры. В конечном счете, все доказательство оказывается созданной по правилам единой конструкцией, в которую утверждение теоремы (точнее, детерминация) включено в качестве составной части. Следовательно, доказательство и дополнительное построение в данном случае попросту совпадают. Текст доказательства и есть здесь та конструкция, которая актуализирует интересующее нас понятие (то понятие, возможность которого предполагалась в утверждении теоремы).

Обращаясь к кантовскому разделению способностей, мы должны констатировать, что проведение доказательства (наряду с воображением и рассудком) проводится при помощи рефлектирующей способности суждения. Построение необходимой последовательности выкладок требует некоторой обобщающей догадки, благодаря которой все фиксированные в экспозиции и детерминации объекты, а также уже доказанные утверждения (т.е. ранее сконструированные объекты), нужные для доказательства, оказываются объединены в одной конструкции.

Дискурс, разворачиваемый в арифметике, оказывается значительно сложнее алгебраического. Здесь можно выделить три типа конструируемых объектов. Прежде всего, арифметика всегда подразумевает некоторую пространственную структуру, на которую можно непосредственно указать, описывая любую арифметическую операцию. Арифметическое утверждение также можно разложить на выделенные нами ранее части, указывая при этом в экспозиции на единичный протяженный объект, создаваемый согласно заданному правилу. В знаменитом кантовском примере - о суммировании чисел пять и семь - мы можем построить соответственно пять и семь точек или пять и семь последовательных отрезков на числовой прямой (и даже положить рядом пять и семь яблок). С помощью пространственных конструкций мы можем демонстрировать сложение, вычитание, деление, умножение, вводить отрицательные, дробные и даже иррациональные числа. (См. примечание 1) Но каждая такая операция, представляющая собой актуализацию определенного арифметического понятия, предполагает также и именование конструируемых объектов. Пользуясь определенной системой счисления, мы присваиваем протяженным конструкциям имена, являющиеся названиями чисел. Но пользуясь такими именами вкупе с названиями операций, мы производим конструкции совершенно иного рода. Мы создаем, прежде всего, сами числа, сообразуясь с правилами, заданными системой счисления. Мы создаем выражения, содержащие эти числа, и даже длинные тексты, включающие подчас весьма специфические конфигурации. В этом конструировании мы можем продвигаться достаточно далеко, вовсе не обращаясь к соответствующей протяженной конструкции, а используя наглядные представления совершенно иного вида.

Многие авторы (см., например, [64], [80], [83]) говорят об абстрактности арифметики, имея в виду отвлечение от протяженных конфигураций и их особенных признаков при определении числовых операций. Однако, важно иметь в виду, что в арифметическом дискурсе происходит конструирование совершенно конкретного единичного объекта. Несмотря на то, что правила этого конструирования существенно отличаются от геометрических, работа всех трех способностей субъекта остается той же самой. При рассмотрении любого арифметического утверждения воображение строит объект, согласно правилам, предписанным рассудком, а проведение достаточно сложного вычисления требует и обобщающей догадки (т.е. дополнительного построения), которая делается способностью суждения. (См. примечание 2)