П Гайденко - История греческой философии в её связи с наукой

Здесь возникает затруднение, на которое обратил внимание Аристотель. "Если идеи - это числа, - говорит он, - тогда все единицы <���в них> нельзя ни сопоставлять друг с другом, ни считать несопоставимыми между собой...". В самом деле, если единица - это единство, а "двойка", содержащая "единое и иное", может быть названа идеей "различия", тройка, далее, соединяющая посредством третьего члена "единое" и "иное", может быть названа тождеством единства и различия, т.е. "целым" и т.д., то Аристотель прав: тут нет абстрактных, безразличных друг другу единиц, "которые можно сравнивать между собой". Напротив, двойка, тройка, четверка и т.д. - это определенным образом организованные структуры, где каждая из "единиц" не может рассматриваться сама по себе. В то же время в арифметике мы "считаем" единицы, а значит, они не могут быть несопоставимы между собой. Аристотель действительно отмечает здесь ту трудность, которая толкала Платона и особенно его учеников - Спевсиппа и Ксенократа - к различению идеальных чисел и чисел математических. Но поскольку сам Платон, насколько мы знаем, этого различия еще не проводил, а различал лишь числа и геометрические объекты, то мы и обратимся к этому различению.

Геометрические объекты получаются, как мы уже помним, "из материи и числа". "Интеллигибельная материя" - это пространство. Что означает соединение чисел с пространством?

Начнем с единицы. Соединение единицы с пространством дает первый геометрический объект - точку. Точка - это "единица, имеющая положение" (Аристотель). Но, получив положение, единица тем самым приобщается к "незаконнорожденному виду" бытия, отличного от идеальной - логической стихии, которой единица до этого принадлежала. Точка содержит в себе уже два ряда свойств: одни - унаследованные от отца - единицы (от мира идей), другие - приобретенные от матери - неопределенного пространства. От единицы точка наследует свою неделимость; отсюда и ее определение: "точка - это то, что не имеет частей" (см.: "Начала" Евклида, кн. I, определение 1). Точку нельзя разделить потому, что она есть "воплощенное в пространстве" единое, а единое неделимо по определению. Но у точки появляется и свойство, совершенно чуждое единице - жилице мира идей: она движется и своим движением порождает линию. Этим свойством она обязана матери интеллигибельной материи - пространству. И движется она именно в интеллигибельной материи, а не в чувственном мире, т.е. в воображении, а не в чувственном восприятии.

В результате этих противоположных определений точка, с одной стороны, является границей (это в ней от единого, оно же предел), а с другой - может безгранично двигаться (беспредельное), порождая линию. Очень характерны в этом отношении те определения, которые дает точке Прокл в комментариях к Евклиду. Говоря о том, что точка - это монада, наделенная положением, Прокл замечает, что благодаря этой наделенности положением она Щn fantasЕa proteinetai (простирается в воображении), а потому точка Ьnul'n Щsti kat? t?n noht?n ?lhn (оматериалена через интеллигибельную материю) и в этом смысле есть нечто swmatoeidhV (теловидное).

Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она соединится с интеллигибельной материей - пространством? Двойка - это "единое и иное", это начало различия, когда единое перестает быть абсолютно единым и вступает в контакт с иным. Строго говоря, когда единица становится пространственной, т.е. вступает в контакт "с положением", а значит, с "иным", чем она сама, она уже двойка. И действительно, со стороны того определения, которое она получает от этого контакта, от "положения" (пространственности), она есть движущееся; а движущаяся точка - это линия. (Правда, не будем забывать, что со стороны первого своего определения единицы - точка есть граница, т.е. нечто устойчивое, неподвижное, закрепляющее.)

Но можно провести рассуждение и иначе. Если взять двойку не со стороны "материи" (движущаяся точка), а со стороны ее числово-идеального "отца", то она есть две единицы. Две единицы, соединившиеся с пространством (т.е. с положением), будут двумя точками. Линия со стороны числа, т.е. своего логического, а не пространственного происхождения, определяется через "две точки". Таково ее определение у Евклида: "Концы же линии - точки" (кн. I, определение 3). Вот почему среди греческих математиков само собой разумелось, что линия - это двойка. Через двойку далее можно определять линию не только логически, но и "в воображении", т.е. погружая "двойку" в "интеллигибельную материю"; такое определение, однако, в отличие от первого будет включать в себя движение (cЕnhsiV fantastic ), а потому будет не логическим определением, а требованием осуществить некоторое действие постулатом. Первый постулат Евклида гласит: "Требуется, чтобы можно было через всякие две точки провести прямую".

Займемся теперь тройкой. В сущности, тройка у Платона является первым числом: ведь единица и "неопределенная двоица" - это скорее "начала" чисел, чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки, т.е. начала ограничивающего и безгранично-неопределенного. Двойка, выражающая начало "различия", соединившись с материей-пространством, предстает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки, как мы знаем еще из разбора пифагорейской математики, нет "середины", которая "удержала" бы ее "концы", "скрепила" бы их друг с другом. В тройке эта середина налицо, а потому тройка - нечетное число - устойчива и довлеет себе. Но как в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой? Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем самым мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению трех единиц или двойки и единицы. В результате мы получим новый геометрический объект - треугольник. (Построение правильного, т.е. равностороннего треугольника на данной ограниченной прямой, или операция нахождения точки, равноотстоящей от двух других точек ("концов" прямой) - первая теорема I книги "Начал" Евклида.)

В результате соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве) прямая больше уже не может неограниченно продолжаться в обе стороны: третья точка "держит" оба ее конца. Как "тройка" - первое настоящее число, так и треугольник - первая пространственная фигура: точка и линия - это элементы, "начала", из которых строятся геометрические фигуры.

При этом "переведении" чисел в пространство каждое новое число представляет пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений ("не имеет частей"); двойка имеет одно измерение - "длину без ширины" ("Начала" Евклида, кн. I, определение 2); тройка имеет два измерения - длину и ширину. Треугольник, таким образом, есть "первая" (не во временн(м, а в логическом смысле) плоскость, ибо тройка означает два измерения.